Para a função f(x)=-x+2, denote por f^(n)(x) como sendo a composição de f com f n-vezes, por exemplo, f^(3)(x)=f(f(f(x))).
Calcule f^(2024)(2024).

Passo 1

Neste exercício temos a função f(x) = -x + 2 e queremos calcular f^(2024)(2024), ou seja, a composição de f com ela mesma 2024 vezes avaliada em x=2024. O conteúdo principal é iteração de função e uso de propriedades de involução.

Passo 2

Vamos calcular a segunda composição de f para ver se surge algum padrão.
f(f(x)) = f(-x + 2) = -(-x + 2) + 2 = x - 2 + 2 = x
Isso mostra que f é uma involução, pois f^(2)(x) = x.

Passo 3

Como f^(2) é a identidade, para qualquer inteiro n temos:
  • Se n for par, digamos n = 2k, então
f^(n)(x) = f^(2k)(x) = l(f^(2)r)^k(x) = id^,k(x) = x
  • Se n for ímpar, n = 2k + 1, então
f^(n)(x) = f^(2k+1)(x) = fl(f^(2k)(x)r) = f(x) = -x + 2

Passo 4

No nosso caso, n = 2024 é par. Portanto
f^(2024)(2024) = 2024

Resposta

2024

Exercícios relacionados