Calcule as derivadas das seguintes funções pela definição de derivadas por limite. Em seguida, faça a mesma derivada utilizando a regra apropriada.
y=x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de y = x^2 de duas formas:
  1. usando a definição de derivada como limite
  2. usando a regra de potência.
    Vamos precisar da definição
f'(x) = limh to 0 f(x+h) - f(x)h
e da regra que diz que, para y = x^n, vale
y' = n,x^n-1

Passo 2

Pela definição de derivada, tomo f(x)=x^2 e escrevo
f'(x) = limh to 0 (x+h)^2 - x^2h
No numerador expando
(x+h)^2 - x^2 = x^2 + 2xh + h^2 - x^2 = 2xh + h^2,
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(x+h)^2 - x^2h = 2xh + h^2h = 2x + h
Fazendo h to 0 obtenho
f'(x) = 2x

Passo 3

Pela regra de potência, para y = x^2 temos n=2 e assim
y' = 2,x^2-1 = 2x

Resposta

y' = 2x

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