Suponha que f(x)=x^3.
(a) Quanto é f^prime(9), f^prime(25), f^prime(36) ?
(b) Quanto é f^prime(3^2), f^prime(5^2), f^prime(6^2) ?
(c) Quanto é f^prime(a^2), f^prime(x^2) ?
Se você não acha este problema bobo; você está perdendo um ponto muito importante: f^prime(x^2) significa a derivada da função f no número que por um acaso estamos chamando de x^2; não é a derivada em x da função g(x)=f(x^2). Para deixar bem claro:
(d) Para f(x)=x^3, compare f^prime(x^2) e g^prime(x) onde g(x)=f(x^2).

Passo 1

O enunciado define f(x)=x^3 e quer que a gente calcule:
(a) f'(9), f'(25), f'(36)
(b) f'l(3^2r), f'l(5^2r), f'l(6^2r)
(c) f'l(a^2r), f'l(x^2r)
(d) comparar f'l(x^2r) com g'(x) onde g(x)=f(x^2).
Conteúdo principal: regra do poder para derivadas e avaliação em pontos.

Passo 2

Para derivar usamos a regra do poder: se f(x)=x^n, então
f'(x)=n,x^n-1
Aqui n=3, logo
f'(x)=3x^2

Passo 3

Agora avaliamos em x=9, 25 e 36:
f'(9)=3cdot9^2=3cdot81=243, f'(25)=3cdot25^2=3cdot625=1875, f'(36)=3cdot36^2=3cdot1296=3888

Passo 4

Na parte (b) os pontos são 3^2=9, 5^2=25 e 6^2=36. Portanto
f'l(3^2r)=f'(9)=243, f'l(5^2r)=f'(25)=1875, f'l(6^2r)=f'(36)=3888

Passo 5

Para o caso geral da parte (c) basta substituir x por a^2 ou por x^2 em f'(x)=3x^2. Assim
f'l(a^2r)=3,(a^2)^2=3,a^4, f'l(x^2r)=3,(x^2)^2=3,x^4

Passo 6

Definimos g(x)=f(x^2)=(x^2)^3=x^6. Derivando por x (regra da cadeia ou poder):
g'(x)=6,x^5
Perceba que
f'l(x^2r)=3,x^4
é distinto de
g'(x)=6,x^5,
pois f'l(x^2r) significa “derivada de f avaliada no número x^2”, e não “derivada de f(x^2) em x”.

Resposta

(a) f'(9)=243, f'(25)=1875, f'(36)=3888.
(b) f'l(3^2r)=243, f'l(5^2r)=1875, f'l(6^2r)=3888.
(c) f'l(a^2r)=3a^4, f'l(x^2r)=3x^4.
(d) f'l(x^2r)=3x^4 enquanto g'(x)=6x^5; são expressões diferentes.

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