Calcule as derivadas das seguintes funções pela definição de derivadas por limite. Em seguida, faça a mesma derivada utilizando a regra apropriada.
y=1+xx

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = 1 + xx
pela definição de derivada por limite e, em seguida, pela regra de derivação apropriada. Vamos usar
f'(x) = limh to 0 f(x+h) - f(x)h
para a definição e a regra do quociente
l(uvr)' = v,u' - u,v'v^2
para o método direto.

Passo 2

Aplicando a definição com f(x) = 1+xx, temos
f'(x) = limh to 0 f(x+h) - f(x)h = limh to 0 1 + x + hx + h - 1 + xxh
Colocando num único quociente:
f(x+h)-f(x)h = (1+x+h)x - (1+x)(x+h)x(x+h)h = -hh,x(x+h) = -1x(x+h)
Fazendo h to 0,
f'(x) = limh to 0 l(-1x(x+h)r) = -1x^2

Passo 3

Agora usando a regra do quociente com u(x)=1+x e v(x)=x, obtemos
u' = 1, v' = 1,
y' = v,u' - u,v'v^2 = xcdot1 - (1+x)cdot1x^2 = x - 1 - xx^2 = -1x^2

Resposta

y' = -1x^2

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