Questão 2 - Valor 3 pontos
Resolva a seguinte equação diferencial exata:
(3 x^2-2 x y+2) d x+(6 y^2-x^2+3) d y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
l(3x^2-2xy+2r),dx+l(6y^2-x^2+3r),dy=0
Identificamos que é uma equação exata, pois depende de encontrar uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x=M(x,y)=3x^2-2xy+2 e partial Psipartial y=N(x,y)=6y^2-x^2+3

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais cruzadas:
partial Mpartial y =partialpartial yl(3x^2-2xy+2r)=-2x,
partial Npartial x =partialpartial xl(6y^2-x^2+3r)=-2x
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Integramos M(x,y) em relação a x para obter Psi(x,y) com uma função “constante” de integração h(y):
Psi(x,y) =integrall(3x^2-2xy+2r),dx =x^3-x^2y+2x+h(y)

Passo 4

Calculamos partial Psi/partial y e igualamos a N(x,y) para determinar h(y):
partial Psipartial y =-x^2+h'(y) =6y^2-x^2+3 Longrightarrow h'(y)=6y^2+3
Integramos em y:
h(y)=integral(6y^2+3),dy =2y^3+3y + C1

Passo 5

Substituindo h(y) em Psi(x,y), a solução implícita geral é
Psi(x,y)=x^3-x^2y+2x+2y^3+3y = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x^3-x^2y+2x+2y^3+3y = C

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