Calcule as derivadas das seguintes funções.
(f) g(x)=cos ^2 3 x (cos ^2 a significa (cos a)^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de g(x)=cos^2(3x). Vamos usar a regra da cadeia duas vezes, uma para a potência ao quadrado e outra para a função cosseno composta com 3x.

Passo 2

Definimos uma função intermediária v(x)=cos(3x) e a função externa f(v)=v^2. A derivada de f em relação a v é
f'(v)=2v

Passo 3

Agora derivamos v(x)=cos(3x). Aplicando regra da cadeia ao cosseno, em que w(x)=3x:
v'(x)=l(cos(w)r)'w=3x = -sin(3x)cdotddx(3x) = -sin(3x)cdot 3 = -3sin(3x)

Passo 4

Combinamos as duas derivadas pela regra da cadeia para g(x)=fl(v(x)r):
g'(x)=f'(v(x))cdot v'(x) =2cos(3x)cdotl(-3sin(3x)r) =-6cos(3x)sin(3x)

Passo 5

Podemos usar a identidade trigonométrica
2cos(a)sin(a)=sin(2a)
para simplificar
-6cos(3x)sin(3x) =-3,(2cos(3x)sin(3x)) =-3sin(6x)

Resposta

g'(x)=-6cos(3x)sin(3x)=-3sin(6x)

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