Compare the curves represented by the parametric equations. How do they differ?
x=cos t, y=sec ^2 t

Passo 1

Temos a curva paramétrica
x=cos t, y=sec^2 t
e queremos compará-la com a curva cartesiana que se obtém ao eliminar o parâmetro. O conteúdo que vamos usar é a conversão de paramétricas para equação em x e y, seguida da análise de domínio, imagem e orientação dos dois gráficos.

Passo 2

Eliminando o parâmetro: de x=cos t vem
cos^2 t = x^2
Como y=sec^2 t=1/cos^2 t, concluímos
y = 1x^2

Passo 3

Análise de domínio e imagem da curva cartesiana y=1/x^2:
  • Domínio: xneq0, ou seja, dois ramos para x>0 e x<0.
  • Imagem: y>0, variando de +infty (quando |x|to0) até 0^+ (quando |x|toinfty).

Passo 4

Análise de domínio e imagem da curva paramétrica:
  • Como x=cos t, temos -1<= x<=1. Além disso, para y=sec^2 t ser finito, é preciso cos tneq0, ou seja, xneq0. Logo o parâmetro só produz -1<= x<=1 e xneq0.
  • Também sec^2 t>=1, então y>=1.

Passo 5

Orientação e cobertura da curva paramétrica:
  • No intervalo tin(-tfracpi2,tfracpi2) traça-se o ramo direito de (0^+,+infty) descendo até (1,1) e voltando a (0^+,+infty).
  • Em (tfracpi2,tfrac3pi2) faz-se o mesmo ramo esquerdo (0^-,+infty)to(-1,1)to(0^-,+infty).
  • A cada período pi esses dois ramos são percorridos novamente.

Resposta

A eliminação do parâmetro dá y=1x^2, mas a curva paramétrica só produz os trechos com -1<= x<= 1, xneq 0 e y>= 1.
Em contraste, o gráfico completo de y=1x^2 inclui \emph{todos} os xneq 0 (isto é, |x| arbitrariamente grande) e valores de y de +infty até 0^+. Além disso, a forma paramétrica traça cada ramo |x|<= 1 duas vezes em sentidos opostos, enquanto o gráfico cartesiano não carrega informação de orientação.

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