Compare the curves represented by the parametric equations. How do they differ?
Passo 1
Temos a curva paramétrica
e queremos compará-la com a curva cartesiana que se obtém ao eliminar o parâmetro. O conteúdo que vamos usar é a conversão de paramétricas para equação em
e
, seguida da análise de domínio, imagem e orientação dos dois gráficos.
Passo 2
Eliminando o parâmetro: de
vem
Como
, concluímos
Passo 3
Análise de domínio e imagem da curva cartesiana
:
- Domínio:
, ou seja, dois ramos para e . - Imagem:
, variando de (quando ) até (quando ).
Passo 4
Análise de domínio e imagem da curva paramétrica:
- Como
, temos . Além disso, para ser finito, é preciso , ou seja, . Logo o parâmetro só produz e . - Também
, então .
Passo 5
Orientação e cobertura da curva paramétrica:
- No intervalo
traça-se o ramo direito de descendo até e voltando a . - Em
faz-se o mesmo ramo esquerdo . - A cada período
esses dois ramos são percorridos novamente.
Resposta
A eliminação do parâmetro dá
, mas a curva paramétrica só produz os trechos com
,
e
.
Em contraste, o gráfico completo de inclui \emph{todos} os
(isto é,
arbitrariamente grande) e valores de
de
até
. Além disso, a forma paramétrica traça cada ramo
duas vezes em sentidos opostos, enquanto o gráfico cartesiano não carrega informação de orientação.
Em contraste, o gráfico completo de