Compare the curves represented by the parametric equations. How do they differ?
x=e^t, y=e^-2 t

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
x = e^t, y = e^-2t,
e pede para compará-la com sua forma cartesiana e dizer em que elas diferem. O conteúdo aqui é eliminar o parâmetro t para achar a equação em (x,y) e depois analisar o domínio e a orientação (direção de percurso) da curva.

Passo 2

Da primeira equação temos
x = e^tLongrightarrow t = ln(x),
válido para x>0. Substituindo em y = e^-2t
y = e^-2ln(x) = e^ln(x^-2) = x^-2
Logo a curva é o ramo da hipérbole
y = 1x^2,
mas apenas para x>0.

Passo 3

O domínio paramétrico tinR gera
x = e^t>0, y = e^-2t>0,
ou seja, o gráfico é exatamente o ramo de y=1/x^2 no primeiro quadrante.

Passo 4

Para ver a orientação, podemos olhar o sinal de dfracdydx. Primeiro calculamos
dxdt = e^t, dydt = -2e^-2t,
então
dydx =dfracdydtdfracdxdt =-2e^-2te^t =-2e^-3t =-2x^-3<0
Como dydx<0, a curva é decrescente, e à medida que t cresce temos x crescendo e y decrescendo. Portanto o ponto se move ao longo de y=1/x^2 do alto à esquerda (quando tto -infty, xto0^+, yto+infty) para baixo à direita (quando tto+infty, xto+infty, yto0^+).

Resposta

A curva paramétrica e a curva cartesiana são a mesma hipérbole y=1/x^2 para x>0. A diferença está na orientação: o parâmetro t faz o ponto percorrer a curva do “infinito alto” (pequeno x, grande y) para o “infinito à direita” (grande x, pequeno y).

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