Compare the curves represented by the parametric equations. How do they differ?
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica
e pede para compará-la com sua forma cartesiana e dizer em que elas diferem. O conteúdo aqui é eliminar o parâmetro
para achar a equação em
e depois analisar o domínio e a orientação (direção de percurso) da curva.
Passo 2
Da primeira equação temos
válido para
. Substituindo em
dá
Logo a curva é o ramo da hipérbole
mas apenas para
.
Passo 3
O domínio paramétrico
gera
ou seja, o gráfico é exatamente o ramo de
no primeiro quadrante.
Passo 4
Para ver a orientação, podemos olhar o sinal de
. Primeiro calculamos
então
Como
, a curva é decrescente, e à medida que
cresce temos
crescendo e
decrescendo. Portanto o ponto se move ao longo de
do alto à esquerda (quando
,
,
) para baixo à direita (quando
,
,
).
Resposta
A curva paramétrica e a curva cartesiana são a mesma hipérbole
para
. A diferença está na orientação: o parâmetro
faz o ponto percorrer a curva do “infinito alto” (pequeno
, grande
) para o “infinito à direita” (grande
, pequeno
).