Calcule as derivadas das seguintes funções.
f(x)=(1+arccos 3 x)^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = l(1 + arccos(3x)r)^3
O conteúdo empregado será a regra da cadeia, incluindo a derivada de arccos e a derivada de uma função composta com múltiplos níveis.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = 1 + arccos(3x),
de modo que
f(x) = l(u(x)r)^3
Aplicando a regra da cadeia ao cubo, temos
f'(x) = 3l(u(x)r)^2,u'(x)

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Como u(x)=1+arccos(3x), temos
u'(x) = ddxl[arccos(3x)r]
Usando a derivada de arccos(v), que é -1/raiz1-v^2 vezes v', com v=3x e v'=3, obtemos
u'(x) = -1raiz1-(3x)^2cdot 3 = -3raiz1-9x^2

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em f'(x)=3u^2u', chega-se a
f'(x) = 3l(1+arccos(3x)r)^2,gl(-3raiz1-9x^2gr) = -9l(1+arccos(3x)r)^2raiz1-9x^2

Resposta

f'(x) = -9l(1+arccos(3x)r)^2raiz1-9x^2

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