Find an equation of the tangent to the curve at the point corresponding to the given value of the parameter.
5. x=e^raizt, y=t-ln t^2 ; t=1

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x = e^raizt, y = t - ln t^2
e pede a reta tangente no ponto de parâmetro t=1. Vamos usar a derivada paramétrica
dydx = dydtdxdt
para achar o coeficiente angular, e em seguida a forma ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Derivamos x e y em relação a t.
Para x = e^raizt:
dxdt = e^raiztcdotddt(raizt) = e^raiztcdot12raizt
Para y = t - 2ln t:
dydt = 1 - 2t

Passo 3

Avaliamo em t=1. Como raiz1=1 e ln1=0,
dxdt|t=1 = e2, dydt|t=1 = 1 - 2 = -1
O coeficiente angular é
m = dy/dtdx/dt = -1e/2 = -2e
O ponto tangente é
(x(1),y(1)) = l(e,;1r).

Passo 4

Usamos a forma ponto-inclinação
y - y0 = m,(x - x0)
Substituindo m=-tfrac2e e (x0,y0)=(e,1), vem
y - 1 = -2e,(x - e)

Resposta

y - 1 = -2e,(x - e)

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