Find an equation of the tangent to the curve at the point corresponding to the given value of the parameter.
6. x=cos theta+sin 2 theta, y=sin theta+cos 2 theta ; theta=0

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva paramétrica
x = costheta + sin(2theta), y = sintheta + cos(2theta)
no ponto correspondente a theta=0. Para resolver, vamos:
  1. determinar o ponto (x0,y0) em theta=0;
  2. calcular dxdtheta e dydtheta;
  3. obter a inclinação m = dy/dthetadx/dtheta em theta=0;
  4. montar a equação da reta-tangente.

Passo 2

Avaliar as coordenadas em theta=0:
x(0) = cos(0) + sin(0) = 1 + 0 = 1, y(0) = sin(0) + cos(0) = 0 + 1 = 1
Logo, o ponto de tangência é (1,1).

Passo 3

Derivar x(theta) e y(theta) em relação a theta:
dxdtheta = -sintheta + 2cos(2theta), dydtheta = costheta - 2sin(2theta)

Passo 4

Avaliar as derivadas em theta=0:
dxdtheta|theta=0 = -sin(0) + 2cos(0) = 2, dydtheta|theta=0 = cos(0) - 2sin(0) = 1
Assim, a inclinação da tangente é
m = dy/dthetadx/dtheta|theta=0 = 12

Passo 5

A equação da reta com inclinação m passando por (x0,y0) é
y - y0 = m,(x - x0)
Substituindo x0=1, y0=1 e m=tfrac12, obtemos
y - 1 = tfrac12,(x - 1)

Resposta

y - 1 = tfrac12,(x - 1)

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