Calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=cos (sen(tg x))

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=cosl(sin(tan x)r)
O conteúdo aqui é regra da cadeia para funções compostas: primeiro derivamos a função externa, depois multiplicamos pela derivada da interna e assim sucessivamente até chegar em x.

Passo 2

Seja
u(x)=sin(tan x),
então podemos ver f(x)=cosl(u(x)r). Sabemos que, para g(u)=cos(u),
g'(u)=-sin(u)
Logo, a derivada de f é
f'(x)=g'l(u(x)r)cdot u'(x)=-sinl(u(x)r),u'(x)

Passo 3

Agora derivamos
u(x)=sin(tan x)
Aqui temos outra aplicação da regra da cadeia: se v(x)=tan x e h(v)=sin(v), então u(x)=hl(v(x)r) e
h'(v)=cos(v),
portanto
u'(x)=h'l(v(x)r),v'(x)=cosl(tan xr),v'(x)

Passo 4

Finalmente, derivamos
v(x)=tan x
Sabemos que
ddxtan x=sec^2 x
Logo
v'(x)=sec^2 x

Passo 5

Juntando tudo na regra da cadeia:
f'(x)=-sinl(u(x)r),u'(x) =-sinl(sin(tan x)r),l[cos(tan x),sec^2 xr]

Resposta

f'(x)=-sinl(sin(tan x)r),cosl(tan xr),sec^2 x

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