Calcular integral duplaR raizx sen(y raizx) d A onde R é delimitada por y=0 ; x=pi2 ; y=raizx.

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
integral duplaR raizx,sinl(yraizxr),dA
em que a região R é dada por
0 <= y <= raizx, 0 <= x <= pi2
O conteúdo é integração sobre região em coordenadas cartesianas, usando mudança de variável na integração interna.

Passo 2

Escrevemos a integral iterada integrando primeiro em y:
integral duplaR raizx,sinl(yraizxr),dA =integralx=0^pi/2l[integraly=0^raizxraizx,sinl(yraizxr),dyr]dx

Passo 3

Para avaliar a integral interna em y, fazemos a substituição
t = yraizx Longrightarrow dt = raizx,dy,
com y=0mapsto t=0 e y=raizxmapsto t=x. Assim
integraly=0^raizxraizx,sinl(yraizxr),dy =integralt=0^xsin(t),dt = l[-cos(t)r]0^x =1-cos(x)

Passo 4

Substituindo na integral externa,
integral0^pi/2l(1-cos(x)r),dx =l[x-sin(x)r]0^pi/2 =l(pi2-1r)-l(0-0r) =pi2-1

Resposta

integral duplaR raizx,sinl(yraizxr),dA =pi2-1

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