Calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\frac{\tan x}{2+\cos (2 x)}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\tan x}{2+\cos(2x)}.
Esta é uma função quociente, então vamos usar a regra do quociente. Sejam
u(x)=\tan x \quad\text{e}\quad v(x)=2+\cos(2x).

Passo 2

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=\operatorname{sec}^2 x,
pois \frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x; e
v'(x)=-2\sin(2x),
pois \frac{d}{dx}\cos(2x)=-2\sin(2x).

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2} =\frac{\operatorname{sec}^2 x\,(2+\cos(2x))-\tan x\,\bigl(-2\sin(2x)\bigr)}{\bigl(2+\cos(2x)\bigr)^2}.
Ou seja,
f'(x) =\frac{\operatorname{sec}^2 x\,(2+\cos(2x))+2\tan x\,\sin(2x)}{\bigl(2+\cos(2x)\bigr)^2}.

Passo 4

Podemos simplificar a parte 2\tan x\,\sin(2x) usando \sin(2x)=2\sin x\cos x:
2\tan x\,\sin(2x) =2\frac{\sin x}{\cos x}\,2\sin x\cos x =4\sin^2 x.
Logo, uma forma mais compacta de f'(x) é
f'(x) =\frac{\operatorname{sec}^2 x\,(2+\cos(2x))+4\sin^2 x}{\bigl(2+\cos(2x)\bigr)^2}.

Resposta

f'(x) =\frac{\operatorname{sec}^2 x\,(2+\cos(2x))+4\sin^2 x}{\bigl(2+\cos(2x)\bigr)^2}.

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