( 1,0 ) Usando a definição, calcule a derivada de f(x)=\sqrt{x+2} no ponto x=0.
Solução. Da definição temos que
f^{\prime}(0)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{h+2}-\sqrt{2}}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{2 \sqrt{2}(\sqrt{h+2}+\sqrt{2})}=\frac{1}{2 \sqrt{2}} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=\sqrt{x+2} no ponto x=0 usando a definição de derivada. Isto envolve aplicar
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}
e usar técnicas de limite para obter um valor numérico.

Passo 2

Aplicando a definição ao nosso f, temos
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{0+h+2}-\sqrt{0+2}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{h+2}-\sqrt{2}}{h}.
Aqui estamos diante de um quociente que dá 0/0, então precisamos manipular a expressão para remover essa indeterminação.

Passo 3

Para eliminar a forma indeterminada, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador:
\frac{\sqrt{h+2}-\sqrt{2}}{h} \cdot \frac{\sqrt{h+2}+\sqrt{2}}{\sqrt{h+2}+\sqrt{2}} = \frac{(h+2)-2}{h\bigl(\sqrt{h+2}+\sqrt{2}\bigr)} =\frac{h}{h\bigl(\sqrt{h+2}+\sqrt{2}\bigr)}.
Cancelando h\neq0, fica
\frac{1}{\sqrt{h+2}+\sqrt{2}}.

Passo 4

Agora basta tomar o limite quando h\to0:
f'(0) =\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{h+2}+\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}} =\frac{1}{2\sqrt{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}

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