(1,0) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=2 x^{2}+x \cdot \ln x no ponto (1, f(1)).
Solução. Calculando a derivada temos f^{\prime}(x)=4 x+\ln x+x \cdot \frac{1}{x}=4 x+\ln x+1.
Portanto, f^{\prime}(1)=4+\ln 1+1=5. Assim, a reta tangente é :
y-2=5(x-1) \Longleftrightarrow y=5 x-3 .

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de f(x)=2x^2+x\ln x no ponto \bigl(1,f(1)\bigr). Para isso precisamos de:
  1. A derivada f'(x) (que dá a inclinação da reta).
  2. O valor de f'(1).
  3. O valor de f(1).
  4. Aplicar a fórmula da reta tangente y-y_0=m(x-x_0).

Passo 2

Derivamos f(x)=2x^2+x\ln x usando as regras de derivação de soma, potência e produto:
f'(x)=\frac{d}{dx}(2x^2)+\frac{d}{dx}(x\ln x) =4x+\bigl(1\cdot\ln x + x\cdot\tfrac{1}{x}\bigr) =4x+\ln x+1.

Passo 3

Avaliamos a derivada em x=1:
f'(1)=4\cdot1+\ln1+1=4+0+1=5.

Passo 4

Calculamos o valor de f em x=1:
f(1)=2\cdot1^2+1\cdot\ln1=2+0=2.

Passo 5

Usamos a fórmula da reta tangente em (x_0,y_0)=(1,2) com inclinação m=5:
y-2=5(x-1)
e, isolando y,
y=5x-5+2=5x-3.

Resposta

y=5x-3

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