Calcule as integrais.
\int \frac{\cos (2 x)}{\operatorname{sen}(x)+\cos (x)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\cos(2x)}{\operatorname{sen}(x)+\cos(x)}\,dx.
Informações relevantes dadas: a função integranda é a razão entre \cos(2x) e \operatorname{sen}(x)+\cos(x). A resposta deve ser uma primitiva (antiderivada) válida em intervalos onde a integranda está definida (ou seja, onde \operatorname{sen}(x)+\cos(x)\neq 0).

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar o numerador. A identidade fundamental é
\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x).
Explico: isto vem da fórmula de duplicação do cosseno. Outra forma de ver é usar \cos(2x)=\cos^2 x-\sin^2 x, que é direta da relação entre seno e cosseno. Aqui \cos^2(x) significa (\cos(x))^2 e \sin^2(x) significa (\sin(x))^2.

Passo 3

A expressão \cos^2(x)-\sin^2(x) é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada:
\cos^2(x)-\sin^2(x)=(\cos(x)-\sin(x))(\cos(x)+\sin(x)).
Isto é porque (a-b)(a+b)=a^2-b^2. Portanto podemos reescrever o integrando como
\frac{\cos(2x)}{\sin(x)+\cos(x)}=\frac{(\cos(x)-\sin(x))(\cos(x)+\sin(x))}{\sin(x)+\cos(x)}.

Passo 4

Agora simplificamos a fração cancelando o fator comum \sin(x)+\cos(x) no numerador e no denominador. Observação importante: esse cancelamento só é válido nos pontos onde \sin(x)+\cos(x)\neq 0. Os zeros de \sin(x)+\cos(x) ocorrem quando \tan(x)=-1, ou seja em
x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Em cada intervalo entre esses pontos a função integranda é bem definida e o cancelamento é válido. Após o cancelamento obtemos a forma mais simples do integrando:
\frac{\cos(2x)}{\sin(x)+\cos(x)}=\cos(x)-\sin(x),
válida quando \sin(x)+\cos(x)\neq 0.

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
\int (\cos(x)-\sin(x))\,dx = \int \cos(x)\,dx - \int \sin(x)\,dx.
Lembrete das primitivas básicas:
\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C_1,\qquad \int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C_2.
Aplicando isso:
\int \cos(x)\,dx - \int \sin(x)\,dx = \sin(x) - (-\cos(x)) + C = \sin(x)+\cos(x)+C,
onde C é a constante de integração (absorvendo C_1 e C_2).

Passo 6

Verificação rápida: derivando a resposta \sin(x)+\cos(x) obtemos
\frac{d}{dx}\big(\sin(x)+\cos(x)\big)=\cos(x)-\sin(x),
que é exatamente o integrando simplificado obtido no Passo 4. Assim a primitiva está correta nos intervalos onde \sin(x)+\cos(x)\neq 0.

Resposta

\sin(x)+\cos(x)+C

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