Calcule as integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas: a função integranda é a razão entre
e
. A resposta deve ser uma primitiva (antiderivada) válida em intervalos onde a integranda está definida (ou seja, onde
).
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar o numerador. A identidade fundamental é
Explico: isto vem da fórmula de duplicação do cosseno. Outra forma de ver é usar
, que é direta da relação entre seno e cosseno. Aqui
significa
e
significa
.
Passo 3
A expressão
é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada:
Isto é porque
. Portanto podemos reescrever o integrando como
Passo 4
Agora simplificamos a fração cancelando o fator comum
no numerador e no denominador. Observação importante: esse cancelamento só é válido nos pontos onde
. Os zeros de
ocorrem quando
, ou seja em
Em cada intervalo entre esses pontos a função integranda é bem definida e o cancelamento é válido. Após o cancelamento obtemos a forma mais simples do integrando:
válida quando
.
Passo 5
Agora integramos termo a termo:
Lembrete das primitivas básicas:
Aplicando isso:
onde
é a constante de integração (absorvendo
e
).
Passo 6
Verificação rápida: derivando a resposta
obtemos
que é exatamente o integrando simplificado obtido no Passo 4. Assim a primitiva está correta nos intervalos onde
.