Calcule as derivadas das seguintes funçōes:
f(x)=\left[\operatorname{sen}^{2} 3 x+\cos ^{3}(2 x-5)\right]^{4}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\left[\operatorname{sen}^{2}(3x)+\cos^{3}(2x-5)\right]^{4}.
Informações dadas:
\operatorname{sen}^{2}(3x) significa (\operatorname{sen}(3x))^{2}.
\cos^{3}(2x-5) significa (\cos(2x-5))^{3}.
A função é uma composição em cascata: uma função potência (\cdot)^{4} aplicada à soma de duas funções internas.

Passo 2

Estruturemos a função para aplicar regras de derivação com clareza. Defina
G(x)=\operatorname{sen}^{2}(3x)+\cos^{3}(2x-5),
de modo que
f(x)=\bigl(G(x)\bigr)^{4}.
Assim a derivada de f será obtida pela regra da cadeia: derivar a potência externa e multiplicar pela derivada da parte interna G(x).

Passo 3

Relembre a regra da cadeia (aqui explicada passo a passo): se \displaystyle f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{n}, onde u depende de x e n é constante, então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\bigr)^{n}=n\bigl(u(x)\bigr)^{n-1}\cdot u'(x).
Ou, em notação de composição, se f(x)=h\bigl(g(x)\bigr) com h(u)=u^{4}, então
f'(x)=h'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).

Passo 4

Aplique a regra da cadeia à nossa função externa (\cdot)^{4}. Usando G(x) definido antes,
f'(x)=4\bigl(G(x)\bigr)^{3}\cdot G'(x).
Ou seja,
\frac{d}{dx}f(x)=4\left[\operatorname{sen}^{2}(3x)+\cos^{3}(2x-5)\right]^{3}\cdot G'(x).
Agora precisamos calcular G'(x).

Passo 5

Calcule a derivada do primeiro termo de G(x): \operatorname{sen}^{2}(3x)=(\operatorname{sen}(3x))^{2}.
Usamos a combinação da regra da potência com a regra da cadeia:
  • Se u(x)=(\operatorname{sen}(3x)) então (u(x))^{2} =2u(x)\cdot u'(x).
  • Derivada de u(x)=\operatorname{sen}(3x) é u'(x)=\cos(3x)\cdot \frac{d}{dx}(3x)=\cos(3x)\cdot 3.
    Portanto
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}^{2}(3x)=2\operatorname{sen}(3x)\cdot\bigl(3\cos(3x)\bigr)=6\operatorname{sen}(3x)\cos(3x).
(Dica: às vezes escrevemos 6\operatorname{sen}(3x)\cos(3x)=3\sin(6x), usando identidade trigonométrica, mas manter o produto é mais claro para a prova.)

Passo 6

Calcule a derivada do segundo termo de G(x): \cos^{3}(2x-5)=(\cos(2x-5))^{3}.
Novamente usamos potência + cadeia:
  • Se v(x)=\cos(2x-5) então (v(x))^{3}'=3v(x)^{2}\cdot v'(x).
  • Derivada de v(x)=\cos(2x-5) é v'(x)=-\sin(2x-5)\cdot\frac{d}{dx}(2x-5)=-\sin(2x-5)\cdot 2.
    Portanto
\frac{d}{dx}\cos^{3}(2x-5)=3\cos^{2}(2x-5)\cdot\bigl(-2\sin(2x-5)\bigr)=-6\cos^{2}(2x-5)\sin(2x-5).

Passo 7

Combine as duas derivadas para obter G'(x):
G'(x)=6\operatorname{sen}(3x)\cos(3x)-6\cos^{2}(2x-5)\sin(2x-5).
Podemos fatorar 6 se quisermos:
G'(x)=6\Bigl(\operatorname{sen}(3x)\cos(3x)-\cos^{2}(2x-5)\sin(2x-5)\Bigr).

Passo 8

Substitua G'(x) em f'(x)=4\bigl(G(x)\bigr)^{3}G'(x) e simplifique os fatores constantes:
f'(x)=4\left[\operatorname{sen}^{2}(3x)+\cos^{3}(2x-5)\right]^{3}\cdot 6\Bigl(\operatorname{sen}(3x)\cos(3x)-\cos^{2}(2x-5)\sin(2x-5)\Bigr).
Multiplicando 4 por 6 obtemos 24, então
f'(x)=24\left[\operatorname{sen}^{2}(3x)+\cos^{3}(2x-5)\right]^{3}\Bigl(\operatorname{sen}(3x)\cos(3x)-\cos^{2}(2x-5)\sin(2x-5)\Bigr).

Resposta

f'(x)=24\left[\operatorname{sen}^{2}(3x)+\cos^{3}(2x-5)\right]^{3}\Bigl(\operatorname{sen}(3x)\cos(3x)-\cos^{2}(2x-5)\sin(2x-5)\Bigr).

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