Calcule as derivadas das seguintes funçōes:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas:
significa
.
significa
.
A função é uma composição em cascata: uma função potência aplicada à soma de duas funções internas.
A função é uma composição em cascata: uma função potência
Passo 2
Estruturemos a função para aplicar regras de derivação com clareza. Defina
de modo que
Assim a derivada de
será obtida pela regra da cadeia: derivar a potência externa e multiplicar pela derivada da parte interna
.
Passo 3
Relembre a regra da cadeia (aqui explicada passo a passo): se
, onde
depende de
e
é constante, então
Ou, em notação de composição, se
com
, então
Passo 4
Aplique a regra da cadeia à nossa função externa
. Usando
definido antes,
Ou seja,
Agora precisamos calcular
.
Passo 5
Calcule a derivada do primeiro termo de
:
.
Usamos a combinação da regra da potência com a regra da cadeia:
Usamos a combinação da regra da potência com a regra da cadeia:
- Se
então ’ . - Derivada de
é .
Portanto
(Dica: às vezes escrevemos
, usando identidade trigonométrica, mas manter o produto é mais claro para a prova.)
Passo 6
Calcule a derivada do segundo termo de
:
.
Novamente usamos potência + cadeia:
Novamente usamos potência + cadeia:
- Se
então . - Derivada de
é .
Portanto
Passo 7
Combine as duas derivadas para obter
:
Podemos fatorar
se quisermos:
Passo 8
Substitua
em
e simplifique os fatores constantes:
Multiplicando
por
obtemos
, então