Calcule as derivadas das seguintes funções.
f(x)=ln arctg x^2

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a derivada de
f(x)=lnl(arctg(x^2)r).
O conteúdo principal envolve aplicação da regra da cadeia, da derivada do ln e da derivada da arctg.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia em duas camadas. Primeiro, definimos
u(x)=arctg(x^2),
de modo que
f(x)=lnl(u(x)r).
A derivada de ln(u) é
ddxlnl(u(x)r) =u'(x)u(x)

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Para
u(x)=arctg(x^2),
sabemos que
ddvarctg(v)=11+v^2
e aqui v(x)=x^2 com v'(x)=2x. Logo,
u'(x) =11+(x^2)^2cdot2x =2x1+x^4

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em f'(x)=u'(x)u(x), vem
f'(x) =2x1+x^4arctg(x^2) =2x(1+x^4),arctg(x^2)

Resposta

f'(x)=2x(1+x^4),arctg(x^2)

Exercícios relacionados