Considere o sólido homogêneo
B=(x, y, z) in R^3 mid 1 <= z <= 2, z^2 >= x^2+y^2
Calcule a massa de B :
(a) Usando coordenadas cilíndricas.
(b) Usando coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado define o sólido homogêneo B por
B=(x,y,z)inR^3mid 1<= z<=2,;x^2+y^2<= z^2
e pede a massa de B adotando densidade unitária. Vamos calcular em duas parametrizações: coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas usamos
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z,
com elemento de volume dV = r,dr,dtheta,dz. As condições viram
0<= r<= z, 0<=theta<=2pi, 1<= z<=2
Logo a massa é
M = integral0^2pi!integralz=1^2!integralr=0^z r,dr,dz,dtheta

Passo 3

Calculando a integral cilíndrica:
integralr=0^zr,dr = z^22,
M = integral0^2pidtheta;integral1^2z^22,dz =2picdot12integral1^2z^2,dz =pi[z^33]1^2 =pil(tfrac83-tfrac13r) =7pi3

Passo 4

Em coordenadas esféricas usamos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. As restrições são
1<=rhocosphi<=2, x^2+y^2<= z^2impliesphi<=pi4, 0<=theta<=2pi
Para dado phi,
rhoinl[secphi,;2secphir], phiin[0,pi/4]
Assim
M = integral0^2pi!integral0^pi/4!integralsecphi^2secphi rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 5

Primeiro o rho-integral:
integralsecphi^2secphirho^2,drho =[rho^33]secphi^2secphi =(8-1)sec^3phi3 =73sec^3phi
Então
M = 2picdot73 integral0^pi/4sinphi,sec^3phi,dphi =14pi3integral0^pi/4sinphicos^3phi,dphi

Passo 6

Fazemos u=cosphi, de modo que du=-sinphi,dphi. Quando phi=0, u=1; quando phi=pi/4, u=1/raiz2. Então
integral0^pi/4sinphicos^3phi,dphi =integral1^1/raiz2 -u^-3,du =integral1/raiz2^1u^-3,du =[u^-2-2]1/raiz2^1 =12
Logo
M = 14pi3cdot12 =7pi3

Resposta

A massa do sólido B é
boxed7pi3

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