Calcule as derivadas das seguintes funções
f(x)=\operatorname{arccos} \left(e^{x^{3}}\right) x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = x \,\operatorname{arccos}\bigl(e^{x^{3}}\bigr).
Aqui vamos usar duas ferramentas principais de derivação: a regra do produto (para x\cdot \operatorname{arccos}(\cdot)) e o teorema da cadeia (para \operatorname{arccos}(e^{x^3})).

Passo 2

Aplicamos a regra do produto: se f(x)=u(x)\,v(x), então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
No nosso caso, u(x)=x e v(x)=\operatorname{arccos}\bigl(e^{x^3}\bigr). Logo,
f'(x) = 1\cdot \operatorname{arccos}\bigl(e^{x^3}\bigr) + x\;\frac{d}{dx}\Bigl[\operatorname{arccos}\bigl(e^{x^3}\bigr)\Bigr].

Passo 3

Agora calculamos v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arccos}(u)\bigr] com u=e^{x^3}. Sabemos que
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{arccos}(u)\bigr] = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}.
Pela cadeia,
v'(x) = \frac{d}{du}[\operatorname{arccos}(u)]\Big|_{u=e^{x^3}} \;\cdot\;\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^3}\bigr) = -\frac{1}{\sqrt{1-\bigl(e^{x^3}\bigr)^2}} \;\cdot\;\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^3}\bigr).

Passo 4

Falta \frac{d}{dx}(e^{x^3}). Pela regra da cadeia para exponencial,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^3}\bigr) = e^{x^3}\,\frac{d}{dx}(x^3) = e^{x^3}\cdot 3x^2.

Passo 5

Substituindo em v'(x) temos
v'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-e^{2x^3}}} \;\cdot\;3x^2 e^{x^3} = -\frac{3x^2 e^{x^3}}{\sqrt{1-e^{2x^3}}}.

Passo 6

Volta para a expressão de f'(x):
f'(x) = \operatorname{arccos}\bigl(e^{x^3}\bigr) + x\;\Bigl(-\frac{3x^2 e^{x^3}}{\sqrt{1-e^{2x^3}}}\Bigr) = \operatorname{arccos}\bigl(e^{x^3}\bigr) -\frac{3x^3 e^{x^3}}{\sqrt{1-e^{2x^3}}}.

Resposta

f'(x) = \operatorname{arccos}\bigl(e^{x^3}\bigr) -\frac{3x^3 e^{x^3}}{\sqrt{1-e^{2x^3}}}.

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