Calcule as derivadas das seguintes funções
g(x)=e^{x} \operatorname{arctg}(\cos (\ln (x))))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=e^{x}\,\operatorname{arctg}\bigl(\cos(\ln(x))\bigr).
O conteúdo envolvido é a regra do produto e a regra da cadeia para composições de funções (exponencial, arctangente, cosseno e logaritmo).

Passo 2

Aplicamos a regra do produto em g(x)=u(x)\,v(x) com
u(x)=e^x,\quad v(x)=\operatorname{arctg}\bigl(\cos(\ln(x))\bigr).
Logo,
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =e^x\,\operatorname{arctg}\bigl(\cos(\ln(x))\bigr) +e^x\,v'(x).

Passo 3

Precisamos de v'(x) onde
v(x)=\operatorname{arctg}(w(x)),\quad w(x)=\cos(\ln(x)).
Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arctg}(w)\bigr] =\frac{1}{1+w^2}\,w'.
Então
v'(x) =\frac{1}{1+\bigl(\cos(\ln(x))\bigr)^2}\,\frac{d}{dx}\bigl[\cos(\ln(x))\bigr].

Passo 4

Agora calculamos \frac{d}{dx}[\cos(\ln(x))]. Seja
w(x)=\cos(z),\quad z=\ln(x).
Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}[\cos(z)] =-\sin(z)\,z' =-\sin(\ln(x))\,\frac{d}{dx}[\ln(x)].
E como \frac{d}{dx}[\ln(x)]=1/x, fica
\frac{d}{dx}[\cos(\ln(x))] =-\frac{\sin(\ln(x))}{x}.

Passo 5

Substituindo em v'(x):
v'(x) =\frac{1}{1+\cos^2(\ln(x))}\, \Bigl(-\frac{\sin(\ln(x))}{x}\Bigr) =-\frac{\sin(\ln(x))}{x\bigl(1+\cos^2(\ln(x))\bigr)}.
Então voltando em g'(x):
g'(x) =e^x\,\operatorname{arctg}\bigl(\cos(\ln(x))\bigr) +e^x\Bigl(-\frac{\sin(\ln(x))}{x\bigl(1+\cos^2(\ln(x))\bigr)}\Bigr).

Resposta

g'(x) =e^x\left[ \operatorname{arctg}\bigl(\cos(\ln(x))\bigr) -\frac{\sin(\ln(x))}{x\bigl(1+\cos^2(\ln(x))\bigr)} \right].

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