Seja
, uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco, tal que
é injetiva e
. Considere as superficies de rotação
onde
e
, para todo
. Prove que as superficies
e
são isométricas quando restringimos convenientemente o dominio das aplicações
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas superfícies de revolução parametrizadas por
e
onde
é regular por comprimento de arco
e
. Para mostrar que
e
são isométricas, basta exibir que suas primeiras formas fundamentais coincidem, restringindo convenientemente os domínios em
.
Passo 2
Calcular a primeira forma fundamental de
.
Primeiro,
Primeiro,
Como
é parametrizada por comprimento de arco,
. Logo
Portanto a forma fundamental de
é
Passo 3
Calcular a primeira forma fundamental de
.
Temos
Temos
Então
Logo a forma fundamental de
também é
Passo 4
Observar a periodicidade em
.
Em , toma-se
para dar toda a volta. Em
, a função
e
têm período
em
. Portanto, restringimos
Em
Dessa forma ambas parametrizações cobrem superfícies sem sobreposição indesejada.
Passo 5
Concluir a isometria.
Como ambas primeiras formas fundamentais coincidem em coordenadas , o difeomorfismo de parâmetro
Como ambas primeiras formas fundamentais coincidem em coordenadas
é uma isometria de métricas
. Compondo, obtemos uma aplicação bijetora e que preserva distâncias entre as superfícies
e
.
Resposta
As superfícies são isométricas porque têm a mesma primeira forma fundamental
e basta restringir
a
em
e a
em
e usar o difeomorfismo
.