Seja \alpha(u)=(f(u), 0, g(u)), u \in I \subset \mathbf{R}, uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco, tal que \alpha é injetiva e f(u)>0. Considere as superficies de rotação
\begin{aligned} & X(u, v)=(f(u) \cos v, f(u) \operatorname{sen} v, g(u)) \\\ & X_{a}(u, v)=\left(a f(u) \cos \frac{v}{a}, a f(u) \operatorname{sen} \frac{v}{a}, \int_{u_{0}}^{u} \sqrt{1-a^{2}\left(f^{\prime}\right)^{2}} d u\right) \end{aligned}
onde a \neq 0 e \left|f^{\prime}(u)\right| \leq \frac{1}{a^{2}}, para todo u \in I. Prove que as superficies X e X_{a} são isométricas quando restringimos convenientemente o dominio das aplicações X e X_{a}.

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies de revolução parametrizadas por
X(u,v)=\bigl(f(u)\cos v,\;f(u)\operatorname{sen} v,\;g(u)\bigr),
e
X_{a}(u,v)=\Bigl(a\,f(u)\cos\frac{v}{a},\;a\,f(u)\operatorname{sen}\frac{v}{a},\;\int_{u_{0}}^{u}\sqrt{1-a^{2}(f'(\xi))^{2}}\,d\xi\Bigr),
onde \alpha(u)=(f(u),0,g(u)) é regular por comprimento de arco f'(u)^2+g'(u)^2=1 e f(u)>0. Para mostrar que X e X_a são isométricas, basta exibir que suas primeiras formas fundamentais coincidem, restringindo convenientemente os domínios em v.

Passo 2

Calcular a primeira forma fundamental de X.
Primeiro,
X_{u}=(f'(u)\cos v,\;f'(u)\operatorname{sen} v,\;g'(u)), \quad X_{v}=(-f(u)\operatorname{sen} v,\;f(u)\cos v,\;0).
Como \alpha é parametrizada por comprimento de arco, f'(u)^2+g'(u)^2=1. Logo
E=\langle X_{u},X_{u}\rangle = f'(u)^2+g'(u)^2 =1,
F=\langle X_{u},X_{v}\rangle =0,
G=\langle X_{v},X_{v}\rangle =f(u)^2.
Portanto a forma fundamental de X é
I_X = du^2 + f(u)^2\,dv^2.

Passo 3

Calcular a primeira forma fundamental de X_a.
Temos
X_{a,u}=\Bigl(a\,f'(u)\cos\frac{v}{a},\;a\,f'(u)\operatorname{sen}\frac{v}{a},\;\sqrt{1-a^2(f'(u))^2}\Bigr),
X_{a,v}=\Bigl(a\,f(u)\bigl(-\operatorname{sen}\frac{v}{a}\bigr)\,\frac1a,\; a\,f(u)\cos\frac{v}{a}\,\frac1a,\;0\Bigr) =( -f(u)\operatorname{sen}\frac{v}{a},\;f(u)\cos\frac{v}{a},\;0).
Então
E_a=\langle X_{a,u},X_{a,u}\rangle = a^2f'(u)^2 +\bigl(1-a^2f'(u)^2\bigr) =1,
F_a=\langle X_{a,u},X_{a,v}\rangle=0,
G_a=\langle X_{a,v},X_{a,v}\rangle =f(u)^2.
Logo a forma fundamental de X_a também é
I_{X_a}=du^2 + f(u)^2\,dv^2.

Passo 4

Observar a periodicidade em v.
Em X, toma-se v\in[0,2\pi) para dar toda a volta. Em X_a, a função \cos\frac{v}{a} e \operatorname{sen}\frac{v}{a} têm período 2\pi a em v. Portanto, restringimos
\begin{cases} (u,v)\in I\times[0,2\pi)\quad\text{para }X,\\\ (u,v)\in I\times[0,2\pi a)\quad\text{para }X_a. \end{cases}
Dessa forma ambas parametrizações cobrem superfícies sem sobreposição indesejada.

Passo 5

Concluir a isometria.
Como ambas primeiras formas fundamentais coincidem em coordenadas (u,v), o difeomorfismo de parâmetro
\varphi\colon I\times[0,2\pi)\to I\times[0,2\pi a), \qquad \varphi(u,v)=(u,\,a\,v)
é uma isometria de métricas du^2+f(u)^2\,dv^2. Compondo, obtemos uma aplicação bijetora e que preserva distâncias entre as superfícies X(I\times[0,2\pi)) e X_a(I\times[0,2\pi a)).

Resposta

As superfícies são isométricas porque têm a mesma primeira forma fundamental
du^2 + f(u)^2\,dv^2
e basta restringir v a [0,2\pi) em X e a [0,2\pi a) em X_a e usar o difeomorfismo \varphi(u,v)=(u,av).

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