Calcule as derivadas das seguintes funções
h(x)=\frac{\cos (x)}{\operatorname{arcsen}\left(2^{t g(x)}\right)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(x)=\frac{\cos(x)}{\arcsin\!\bigl(2^{\tan(x)}\bigr)}.
Para isso, vamos usar a regra do quociente e, em seguida, a regra da cadeia para derivar a função composta \arcsin\bigl(2^{\tan(x)}\bigr).

Passo 2

Identificamos a parte de cima (numerador) e a parte de baixo (denominador):
N(x)=\cos(x),\quad D(x)=\arcsin\!\bigl(2^{\tan(x)}\bigr).
A regra do quociente diz
h'(x) =\frac{N'(x)\,D(x)-N(x)\,D'(x)}{[D(x)]^2}.
Logo,
N'(x)=-\sin(x).

Passo 3

Agora derivamos \displaystyle D(x)=\arcsin\!\bigl(u(x)\bigr) com u(x)=2^{\tan(x)}.
  1. Derivada da \arcsin:
\frac{d}{dx}\arcsin\bigl(u(x)\bigr) =\frac{u'(x)}{\sqrt{1-[u(x)]^2}}.
  1. Derivada de u(x)=2^{\tan(x)}:
u'(x) =2^{\tan(x)}\ln(2)\,\frac{d}{dx}\bigl[\tan(x)\bigr] =2^{\tan(x)}\ln(2)\,\operatorname{sec}^2(x).
Portanto,
D'(x) =\frac{2^{\tan(x)}\ln(2)\,\operatorname{sec}^2(x)} {\sqrt{1-\bigl(2^{\tan(x)}\bigr)^2}}.
Substituindo em h'(x) pela regra do quociente, obtemos a forma final.

Resposta

h'(x) =\frac{-\sin(x)\,\arcsin\!\bigl(2^{\tan(x)}\bigr) -\cos(x)\,\displaystyle\frac{2^{\tan(x)}\ln(2)\,\operatorname{sec}^2(x)} {\sqrt{1-\bigl(2^{\tan(x)}\bigr)^2}}} {\bigl[\arcsin\!\bigl(2^{\tan(x)}\bigr)\bigr]^2}.

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