Calcule as derivadas das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é o produto de uma constante
por dois fatores dependentes de : e . - A tarefa é achar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Vou listar as regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra do produto: se
, então
Isto significa: para derivar um produto, você deriva o primeiro e multiplica pelo segundo, somando a derivada do segundo vezes o primeiro.
- Regra da cadeia (para potências compostas): se
e , então
No nosso caso muito comum:
, porque
.
- Derivadas básicas:
e .
Passo 3
Reescrevo a função destacando os fatores para aplicar a regra do produto:
onde defino
Como
é constante, ela permanece multiplicando a derivada de
.
Passo 4
Calculo
usando a regra da cadeia com
e
:
Expliquei: peguei a potência
(vem na frente), deixei
com expoente
e multipliquei pela derivada de
, que é
.
Passo 5
Calculo
novamente pela regra da cadeia com
e
:
Expliquei: a derivada de
é
, por isso aparece o sinal negativo.
Passo 6
Agora aplico a regra do produto a
:
Substituindo
,
,
e
que encontramos:
Somando:
Passo 7
Lembro que
. Então
Multiplicando a constante
:
Passo 8
Podemos fatorar um fator comum para deixar mais compacto (às vezes ajuda a ver zeros e simplificar no teste):
os dois termos têm ,
e
em comum. Fatorando:
os dois termos têm
Essa é uma forma bem organizada e equivalente à anterior.