Calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=2 \operatorname{sen}^{3}(x) \cdot \cos ^{2}(x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=2\operatorname{sen}^{3}(x)\cdot\cos^{2}(x).
Informações dadas:
  • A função é o produto de uma constante 2 por dois fatores dependentes de x: \operatorname{sen}^{3}(x) e \cos^{2}(x).
  • A tarefa é achar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Vou listar as regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra do produto: se h(x)=u(x)\cdot v(x), então
h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Isto significa: para derivar um produto, você deriva o primeiro e multiplica pelo segundo, somando a derivada do segundo vezes o primeiro.
  • Regra da cadeia (para potências compostas): se u(x)=g(h(x)) e g(t)=t^{n}, então
u'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=n\,h(x)^{\,n-1}\cdot h'(x).
No nosso caso muito comum: \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}^{n}(x)\big)=n\operatorname{sen}^{n-1}(x)\cdot\cos(x), porque \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x).
  • Derivadas básicas: \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x) e \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\operatorname{sen}(x).

Passo 3

Reescrevo a função destacando os fatores para aplicar a regra do produto:
f(x)=2\cdot u(x)\cdot v(x),
onde defino
u(x)=\operatorname{sen}^{3}(x),\qquad v(x)=\cos^{2}(x).
Como 2 é constante, ela permanece multiplicando a derivada de u(x)v(x).

Passo 4

Calculo u'(x) usando a regra da cadeia com g(t)=t^{3} e h(x)=\operatorname{sen}(x):
u'(x)=3\operatorname{sen}^{2}(x)\cdot\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=3\operatorname{sen}^{2}(x)\cdot\cos(x).
Expliquei: peguei a potência 3 (vem na frente), deixei \operatorname{sen} com expoente 2 e multipliquei pela derivada de \operatorname{sen}(x), que é \cos(x).

Passo 5

Calculo v'(x) novamente pela regra da cadeia com g(t)=t^{2} e h(x)=\cos(x):
v'(x)=2\cos(x)\cdot\frac{d}{dx}\cos(x)=2\cos(x)\cdot(-\operatorname{sen}(x))=-2\operatorname{sen}(x)\cos(x).
Expliquei: a derivada de \cos(x) é -\operatorname{sen}(x), por isso aparece o sinal negativo.

Passo 6

Agora aplico a regra do produto a u(x)v(x):
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u, u', v e v' que encontramos:
u'(x)v(x)=\big(3\operatorname{sen}^{2}(x)\cos(x)\big)\cdot\cos^{2}(x)=3\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{3}(x),
u(x)v'(x)=\operatorname{sen}^{3}(x)\cdot\big(-2\operatorname{sen}(x)\cos(x)\big)=-2\operatorname{sen}^{4}(x)\cos(x).
Somando:
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=3\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{3}(x)-2\operatorname{sen}^{4}(x)\cos(x).

Passo 7

Lembro que f(x)=2\cdot u(x)v(x). Então
f'(x)=2\cdot\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=2\Big(3\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{3}(x)-2\operatorname{sen}^{4}(x)\cos(x)\Big).
Multiplicando a constante 2:
f'(x)=6\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{3}(x)-4\operatorname{sen}^{4}(x)\cos(x).

Passo 8

Podemos fatorar um fator comum para deixar mais compacto (às vezes ajuda a ver zeros e simplificar no teste):
os dois termos têm 2, \operatorname{sen}^{2}(x) e \cos(x) em comum. Fatorando:
f'(x)=2\operatorname{sen}^{2}(x)\cos(x)\big(3\cos^{2}(x)-2\operatorname{sen}^{2}(x)\big).
Essa é uma forma bem organizada e equivalente à anterior.

Resposta

f'(x)=2\operatorname{sen}^{2}(x)\cos(x)\big(3\cos^{2}(x)-2\operatorname{sen}^{2}(x)\big)

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