Calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\sqrt[3]{8 x^{3}+27}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\sqrt[3]{8x^{3}+27}.
O conteúdo aqui é derivada de função composta, usando a regra da cadeia e a regra de potência.

Passo 2

Para facilitar, reescrevemos f em forma de potência:
f(x) = (8x^{3}+27)^{\tfrac{1}{3}}.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia. Se f(x)=g(h(x)) com g(u)=u^{1/3} e h(x)=8x^{3}+27, então
f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Como g(u)=u^{1/3},
g'(u)=\tfrac{1}{3}\,u^{-2/3}.
E
h'(x)=(8x^{3}+27)'=24x^{2}.

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) =\tfrac{1}{3}(8x^{3}+27)^{-2/3}\cdot 24x^{2} =\frac{24x^{2}}{3\,(8x^{3}+27)^{2/3}} =\frac{8x^{2}}{(8x^{3}+27)^{2/3}}.

Resposta

f'(x)=\frac{8x^{2}}{(8x^{3}+27)^{2/3}}.

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