Questão 4. Determine y^{\prime}, sendo y uma função dada implicitamente pela equação
\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=1

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=1
e pede a derivada y'. Aqui vamos usar derivação implícita, aplicando a regra da potência e a cadeia, lembrando que y é função de x.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, temos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(y^{-2}\bigr)=\frac{d}{dx}(1)\quad\Longrightarrow\quad -2x^{-3}-2y^{-3}y'=0.

Passo 3

Isolando y':
-2y^{-3}y'=2x^{-3} \quad\Longrightarrow\quad y'=\frac{2x^{-3}}{-2y^{-3}} =-\frac{x^{-3}}{y^{-3}} =-\frac{y^{3}}{x^{3}}.

Resposta

y'=-\frac{y^{3}}{x^{3}}.

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