Calcule as derivadas das seguintes funções:
g(u)=\frac{\left(u^{2}+1\right)^{3}}{(4 u-5)^{5}}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(u)=\frac{(u^{2}+1)^{3}}{(4u-5)^{5}}.
Aqui vamos usar a regra do quociente
\bigg(\frac{N}{D}\bigg)'=\frac{N'\,D - N\,D'}{D^{2}}
e a regra da cadeia para derivar N(u)=(u^{2}+1)^{3} e D(u)=(4u-5)^{5}.

Passo 2

Calculemos primeiro as derivadas de N e de D separadamente por cadeia:
Para
N(u)=(u^{2}+1)^{3},
temos
N'(u)=3\,(u^{2}+1)^{2}\cdot\frac{d}{du}(u^{2}+1) =3\,(u^{2}+1)^{2}\cdot(2u) =6u\,(u^{2}+1)^{2}.
Para
D(u)=(4u-5)^{5},
temos
D'(u)=5\,(4u-5)^{4}\cdot\frac{d}{du}(4u-5) =5\,(4u-5)^{4}\cdot 4 =20\,(4u-5)^{4}.

Passo 3

Aplique a regra do quociente:
g'(u) =\frac{N'(u)\,D(u) - N(u)\,D'(u)}{[D(u)]^{2}} =\frac{6u\,(u^{2}+1)^{2}\,(4u-5)^{5} \;-\;(u^{2}+1)^{3}\,20\,(4u-5)^{4}}{(4u-5)^{10}}.

Passo 4

Fatoramos (u^{2}+1)^{2}(4u-5)^{4} no numerador e simplificamos com parte do denominador:
g'(u) =\frac{(u^{2}+1)^{2}(4u-5)^{4} \bigl[6u\,(4u-5)-20\,(u^{2}+1)\bigr]}{(4u-5)^{10}} =\frac{(u^{2}+1)^{2}\,\bigl[6u\,(4u-5)-20(u^{2}+1)\bigr]}{(4u-5)^{6}}.

Passo 5

Expandindo o colchete:
6u\,(4u-5)-20(u^{2}+1) =24u^{2}-30u-20u^{2}-20 =4u^{2}-30u-20.
Logo, a forma simplificada é
g'(u) =\frac{(u^{2}+1)^{2}\,\bigl(4u^{2}-30u-20\bigr)}{(4u-5)^{6}}.

Resposta

g'(u) =\frac{(u^{2}+1)^{2}\,\bigl(4u^{2}-30u-20\bigr)}{(4u-5)^{6}}.

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