Calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\left(\frac{x}{x+1}\right)^{10}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\Bigl(\frac{x}{x+1}\Bigr)^{10}.
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia, pois temos uma potência de uma função interna, e dentro dela usaremos também a regra do quociente para derivar \frac{x}{x+1}.

Passo 2

Pela regra da cadeia, se f(x)=[g(x)]^{10}, então
f'(x)=10\,[g(x)]^{9}\cdot g'(x).
Aqui g(x)=\frac{x}{x+1}, logo
f'(x)=10\Bigl(\frac{x}{x+1}\Bigr)^{9}\cdot\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x}{x+1}\Bigr).

Passo 3

Para calcular \frac{d}{dx}\bigl(\frac{x}{x+1}\bigr), usamos a regra do quociente
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr) =\frac{u'\,v - u\,v'}{v^{2}},
com u(x)=x e v(x)=x+1. Temos u'=1 e v'=1, portanto
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x}{x+1}\Bigr) =\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot1}{(x+1)^{2}} =\frac{x+1 - x}{(x+1)^{2}} =\frac{1}{(x+1)^{2}}.

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) =10\Bigl(\frac{x}{x+1}\Bigr)^{9}\cdot\frac{1}{(x+1)^{2}} =10\,\frac{x^{9}}{(x+1)^{9}}\cdot\frac{1}{(x+1)^{2}} =10\,\frac{x^{9}}{(x+1)^{11}}.

Resposta

f'(x)=10\,\frac{x^{9}}{(x+1)^{11}}.

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