Calcule as derivadas usando a regra da cadeia:
f(x)=e^{\sin x}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a derivada da função f definida por
f(x)=e^{\sin x}.
Pergunta explícita: encontrar f'(x). Informação dada: a expressão explícita de f(x). Não há outras restrições mencionadas.

Passo 2

Observação útil (o que faremos): a função f(x)=e^{\sin x} é uma composição de duas funções: uma que faz o seno e outra que aplica a exponencial. Para funções obtidas por composição usamos a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia antes de aplicá‑la.

Passo 3

Enunciado da regra da cadeia (com explicação): se tivermos uma função composta da forma
F(x)=G(H(x)),
então a derivada é
F'(x)=G'\big(H(x)\big)\cdot H'(x).
O que isso significa, em palavras: para derivar uma composição, primeiro derivamos a função externa G avaliando-a na função interna H(x), e depois multiplicamos pelo derivada da função interna H'(x). Aqui G'\big(H(x)\big) é a derivada de G com a variável substituída por H(x), e H'(x) é a derivada direta de H.

Passo 4

Identificação das funções externa e interna no problema: escrevemos f como composição
f(x)=g(h(x))
onde escolhemos
g(u)=e^{u}\quad\text{(função externa)}çã
e
h(x)=\sin x\quad\text{(função interna)}.çã
Aqui usei uma letra diferente ( u) para mostrar que g é vista como função de uma variável genérica.

Passo 5

Derivadas separadas das partes (explicando cada uma):
  • Derivada da função externa g(u)=e^{u}: sabemos que a derivada da exponencial é ela mesma, ou seja
g'(u)=e^{u}.
Isso vale para qualquer variável no expoente — é uma propriedade básica da função exponencial.
  • Derivada da função interna h(x)=\sin x: a derivada do seno é o cosseno, então
h'(x)=\cos x.
(Se quiser lembrar por que: é uma derivada padrão obtida a partir do limite; aqui só usamos o resultado conhecido.)

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia: usando a fórmula do Passo 3 com G=g e H=h, temos
f'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Substituindo g' e h:
f'(x)=e^{h(x)}\cdot \cos x.
Agora substituímos h(x)=\sin x:
f'(x)=e^{\sin x}\cdot \cos x.
Podemos escrever de forma mais usual como
f'(x)=e^{\sin x}\cos x.

Passo 7

Verificação rápida por exemplo semelhante (para fixar a ideia): se tivéssemos p(x)=e^{x^{2}}, seguiríamos o mesmo raciocínio com g(u)=e^{u} e h(x)=x^{2}. Assim
p'(x)=e^{x^{2}}\cdot 2x,
o que mostra como a derivada da parte interna entra multiplicando.

Resposta

f'(x)=e^{\sin x}\cos x

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