Calcule as derivadas usando a regra da cadeia:
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a derivada da função
definida por
Pergunta explícita: encontrar
. Informação dada: a expressão explícita de
. Não há outras restrições mencionadas.
Passo 2
Observação útil (o que faremos): a função
é uma composição de duas funções: uma que faz o seno e outra que aplica a exponencial. Para funções obtidas por composição usamos a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia antes de aplicá‑la.
Passo 3
Enunciado da regra da cadeia (com explicação): se tivermos uma função composta da forma
então a derivada é
O que isso significa, em palavras: para derivar uma composição, primeiro derivamos a função externa
avaliando-a na função interna
, e depois multiplicamos pelo derivada da função interna
. Aqui
é a derivada de
com a variável substituída por
, e
é a derivada direta de
.
Passo 4
Identificação das funções externa e interna no problema: escrevemos
como composição
onde escolhemos
e
Aqui usei uma letra diferente (
) para mostrar que
é vista como função de uma variável genérica.
Passo 5
Derivadas separadas das partes (explicando cada uma):
- Derivada da função externa
: sabemos que a derivada da exponencial é ela mesma, ou seja
Isso vale para qualquer variável no expoente — é uma propriedade básica da função exponencial.
- Derivada da função interna
: a derivada do seno é o cosseno, então
(Se quiser lembrar por que: é uma derivada padrão obtida a partir do limite; aqui só usamos o resultado conhecido.)
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia: usando a fórmula do Passo 3 com
e
, temos
Substituindo
e
:
Agora substituímos
:
Podemos escrever de forma mais usual como
Passo 7
Verificação rápida por exemplo semelhante (para fixar a ideia): se tivéssemos
, seguiríamos o mesmo raciocínio com
e
. Assim
o que mostra como a derivada da parte interna entra multiplicando.