Calcule as derivadas das seguintes funções:
g(x)=7 x^{5}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
g(x)=7x^{5}.
Informações relevantes: o coeficiente multiplicando a potência é 7 e o expoente é 5. A tarefa é encontrar g'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

O que é derivada, de forma intuitiva: a derivada de uma função em um ponto dá a taxa de variação instantânea ou a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. A definição formal (para você guardar) é
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h},
onde h é um pequeno aumento em x. Aqui g'(x) é uma nova função que, para cada x, dá essa taxa de variação.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas com calma):
  • Regra do fator constante: se temos uma constante c multiplicando uma função f(x), então
\frac{d}{dx}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot f'(x).
Isto é intuitivo: a constante apenas escala a função e também escala sua derivada pelo mesmo fator.
  • Regra da potência (caso de expoente inteiro positivo): para a função x^n, com n inteiro positivo,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
O que isso diz é que você “desce” o expoente como multiplicador e subtrai 1 do expoente. Uma forma rápida de justificar (sem entrar em toda a prova formal) é usar a expansão binomial:
(x+h)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}h^{k},
então
\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}=\binom{n}{1}x^{n-1}+\text{termos que contêm }h,ê
e ao fazer h\to0 ficam apenas \binom{n}{1}x^{n-1}=n x^{n-1}.

Passo 4

Agora aplicamos essas regras à nossa função g(x)=7x^{5}.
  1. Pela regra do fator constante, podemos escrever
\frac{d}{dx}\big(7x^{5}\big)=7\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{5}\big).
  1. Pela regra da potência,
\frac{d}{dx}\big(x^{5}\big)=5x^{4}.
  1. Multiplicando pelo 7,
g'(x)=7\cdot 5x^{4}=35x^{4}.

Passo 5

Para consolidar: a derivada é a função
g'(x)=35x^{4}.
Exemplo numérico rápido (para ver como usar): se você quiser a taxa de variação em x=2,
g'(2)=35\cdot 2^{4}=35\cdot 16=560.
Isso significa que, em x=2, a função cresce com inclinação 560.

Resposta

g'(x)=35x^{4}

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