Calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações relevantes: o coeficiente multiplicando a potência é
e o expoente é
. A tarefa é encontrar
, a derivada em relação a
.
Passo 2
O que é derivada, de forma intuitiva: a derivada de uma função em um ponto dá a taxa de variação instantânea ou a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. A definição formal (para você guardar) é
onde
é um pequeno aumento em
. Aqui
é uma nova função que, para cada
, dá essa taxa de variação.
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadas com calma):
- Regra do fator constante: se temos uma constante
multiplicando uma função , então
Isto é intuitivo: a constante apenas escala a função e também escala sua derivada pelo mesmo fator.
- Regra da potência (caso de expoente inteiro positivo): para a função
, com inteiro positivo,
O que isso diz é que você “desce” o expoente como multiplicador e subtrai
do expoente. Uma forma rápida de justificar (sem entrar em toda a prova formal) é usar a expansão binomial:
então
e ao fazer
ficam apenas
.
Passo 4
Agora aplicamos essas regras à nossa função
.
- Pela regra do fator constante, podemos escrever
- Pela regra da potência,
- Multiplicando pelo
,
Passo 5
Para consolidar: a derivada é a função
Exemplo numérico rápido (para ver como usar): se você quiser a taxa de variação em
,
Isso significa que, em
, a função cresce com inclinação
.