Questão 1: (2.5 pontos)
Calcule a área da região
limitada pela curva
Calcule a área da região
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área da região
limitada pela curva
Informações relevantes fornecidas:
A pergunta única é: qual é a área de
?
Passo 2
Observação útil (intuição): a equação tem duas combinações lineares de
e
ao quadrado, somadas, igual a 1. Isso sugere que a curva é uma elipse obtida por uma transformação linear a partir do círculo unitário. A ideia é fazer uma mudança de variáveis linear que transforme as combinações lineares em coordenadas novas
tais que a equação vire a do círculo unitário
. Isso facilita calcular a área.
Passo 3
Escolhemos as novas coordenadas
e
igualando-as às combinações lineares presentes na equação, com
já dividido pelo fator
que aparece na equação:
Com essa escolha a equação da curva fica
ou seja, em coordenadas
a região correspondente é o disco unitário
Passo 4
Escrevemos a mudança de variáveis em forma matricial. Seja
e
. Então
pois
e
.]
Passo 5
Agora precisamos do fator de escala entre os elementos de área nas duas coordenadas. A regra é: se
, então o elemento de área se transforma como
Isto implica
Calculamos
:
Portanto
Passo 6
A área de
em
-espaço é a integral de
sobre
. Fazendo a mudança de variáveis para
obtemos
Como
é o disco unitário, sua área é
. Logo