Questão 1: (2.5 pontos)
Calcule a área da região D limitada pela curva
(x-2 y)^{2}+\frac{(2 x+y)^{2}}{4}=1

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área da região D limitada pela curva
(x-2 y)^{2}+\frac{(2 x+y)^{2}}{4}=1.
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i) A curva é dada pela equação }(x-2 y)^{2}+\frac{(2 x+y)^{2}}{4}=1.éçã
\text{(ii) A região }D\text{ é o interior dessa curva (região limitada por ela).}ãéã
A pergunta única é: qual é a área de D?

Passo 2

Observação útil (intuição): a equação tem duas combinações lineares de x e y ao quadrado, somadas, igual a 1. Isso sugere que a curva é uma elipse obtida por uma transformação linear a partir do círculo unitário. A ideia é fazer uma mudança de variáveis linear que transforme as combinações lineares em coordenadas novas u,v tais que a equação vire a do círculo unitário u^{2}+v^{2}=1. Isso facilita calcular a área.

Passo 3

Escolhemos as novas coordenadas u e v igualando-as às combinações lineares presentes na equação, com v já dividido pelo fator 2 que aparece na equação:
u = x-2y, \qquad v = \frac{2x+y}{2}.
Com essa escolha a equação da curva fica
u^{2}+v^{2}=1,
ou seja, em coordenadas (u,v) a região correspondente é o disco unitário
D'=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\}.

Passo 4

Escrevemos a mudança de variáveis em forma matricial. Seja \mathbf{u}=\begin{pmatrix}u\\[4pt]v\end{pmatrix} e \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}. Então
\mathbf{u}=A\mathbf{x}, \qquad A=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]1 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix},
pois u=1\cdot x+(-2)\cdot y e v=1\cdot x+\tfrac{1}{2}\cdot y.]

Passo 5

Agora precisamos do fator de escala entre os elementos de área nas duas coordenadas. A regra é: se \mathbf{u}=A\mathbf{x}, então o elemento de área se transforma como
dudv = |\det A|\; dxdy.
Isto implica
dxdy = \frac{1}{|\det A|}\; dudv.
Calculamos \det A:
\det A = 1\cdot \tfrac{1}{2} - (-2)\cdot 1 = \tfrac{1}{2}+2 = \tfrac{5}{2}.
Portanto
dxdy = \frac{1}{\tfrac{5}{2}}\; dudv = \frac{2}{5}\; dudv.

Passo 6

A área de D em xy-espaço é a integral de 1 sobre D. Fazendo a mudança de variáveis para (u,v) obtemos
\text{Área}(D)=\iint_{D} dxdy = \iint_{D'} \frac{2}{5}\; dudv.Á
Como D' é o disco unitário, sua área é \pi. Logo
\text{Área}(D)=\frac{2}{5}\cdot \pi = \frac{2\pi}{5}.Á

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{5}

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