Calcule as derivadas das seguintes funções.
(g) y=tg^2 x sec ^3 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = tan^2 x ,sec^3 x
Aqui vamos usar a regra do produto, a regra da cadeia e as derivadas fundamentais
dfracddx[tan x]=sec^2 x e dfracddx[sec x]=sec xtan x.

Passo 2

Definimos
f(x)=tan^2 x, g(x)=sec^3 x,
então pela regra do produto
y' = f'(x),g(x) + f(x),g'(x)

Passo 3

Calculamos f' e g' usando a cadeia:
f'(x)=ddx[tan^2 x] =2,tan x;ddx[tan x] =2,tan x;sec^2 x,
g'(x)=ddx[sec^3 x] =3,sec^2 x;ddx[sec x] =3,sec^2 x;(sec xtan x) =3,sec^3 x,tan x

Passo 4

Substituindo em y' = f'g + fg':
y' = l(2,tan xsec^2 xr)sec^3 x +tan^2 xl(3,sec^3 xtan xr) =2,tan x,sec^5 x +3,tan^3 x,sec^3 x

Passo 5

Fatorando sec^3 x,tan x:
y' = sec^3 x,tan x l(2,sec^2 x +3,tan^2 xr)
Usando sec^2 x=1+tan^2 x dá ainda
y' = sec^3 x,tan x,(2+5,tan^2 x)

Resposta

boxedy' = sec^3 x,tan x,(2+5,tan^2 x)

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