Calcule as derivadas das seguintes funções.
(h) f(x)=tg^3(3 x+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=tan^3(3x+1)
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para funções compostas em três níveis: a parte interna linear 3x+1, a função tangente e a potência cúbica.

Passo 2

Definimos as funções intermediárias
u(x)=3x+1, v(u)=tan(u), w(v)=v^3
Assim f(x)=wl(v(u(x))r).

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia em três etapas. Primeiro derivamos w(v)=v^3 em relação a v, depois v(u)=tan(u) em relação a u, e por fim u(x)=3x+1 em relação a x. Obtemos
f'(x)=w'(v),cdot v'(u),cdot u'(x) =3,v^2,cdot sec^2(u),cdot u'(x),
onde já usamos v=tan(u).

Passo 4

Agora calculamos u'(x). Como u(x)=3x+1, temos
u'(x)=3

Passo 5

Substituindo u=3x+1 e u'(x)=3 em
f'(x)=3,tan^2(u),sec^2(u),cdot 3
temos
f'(x)=9,tan^2(3x+1),sec^2(3x+1)

Resposta

f'(x)=9,tan^2(3x+1),sec^2(3x+1)

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