Calcule as derivadas das seguintes funções.
(i) y=x^2 sec ^2 5 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = x^2,sec^2(5x)
O conteúdo envolve a regra do produto para derivadas e a regra da cadeia para derivar sec^2(5x).

Passo 2

Aplicamos a regra do produto: se y = ucdot v então
y' = u',v + u,v'
Aqui u = x^2 e v = sec^2(5x). Como u' = 2x, temos
y' = 2x,sec^2(5x) ;+; x^2,l(sec^2(5x)r)'

Passo 3

Para derivar v = sec^2(5x) usamos a regra da cadeia: se w = sec^2(u), então
dwdu = 2,sec^2(u),tan(u),
e aqui u = 5x, cujo du/dx = 5. Logo
l(sec^2(5x)r)' = 2,sec^2(5x),tan(5x),cdot 5 = 10,sec^2(5x),tan(5x)

Passo 4

Substituindo esse resultado em y' do Passo 2, obtemos
y' = 2x,sec^2(5x) ;+; x^2,l(10,sec^2(5x),tan(5x)r) = 2x,sec^2(5x) + 10x^2,sec^2(5x),tan(5x)

Passo 5

Para simplificar, fatoramos 2x,sec^2(5x):
y' = 2x,sec^2(5x),l(1 + 5x,tan(5x)r)

Resposta

y' = 2x,sec^2(5x),l(1 + 5x,tan(5x)r)

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