Calcule as derivadas das seguintes funções.
(I) g(x)=ln (ln sec 2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de g(x)=lnl(ln(sec 2x)r). O conteúdo aqui é regra da cadeia para funções compostas: vamos identificar cada “camada” e aplicar sucessivamente a derivada de ln e de sec.

Passo 2

Definimos as funções auxiliares
u(x)=sec(2x), v(x)=lnl(u(x)r), g(x)=lnl(v(x)r)
Pela regra da cadeia para três níveis,
g'(x)=underbraceddvln(v)1/vl|v=v(x)cdotunderbracedduln(u)1/ul|u=u(x)cdot u'(x)

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
– Para a primeira camada, ddvln(v)=tfrac1v.
– Para a segunda, dduln(u)=tfrac1u.
– Para a terceira, u(x)=sec(2x) e
u'(x)=ddxsec(2x)=sec(2x)tan(2x)cdot 2

Passo 4

Substituindo em
g'(x)=1v(x)cdot1u(x)cdot u'(x)
temos
g'(x) =1ln(sec(2x))cdot1sec(2x)cdotl(2,sec(2x)tan(2x)r) =2,tan(2x)ln(sec(2x))

Resposta

g'(x)=2,tan(2x)lnl(sec(2x)r)

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