Find an equation of the tangent to the curve at the point corresponding to the given value of the parameter.
4. x=t-t^-1, y=1+t^2 ; t=1

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada por
x(t)=t-t^-1, y(t)=1+t^2,
e pede a reta tangente no ponto correspondente a t=1. Para isso, vamos precisar de (a) coordenadas do ponto em t=1, (b) derivadas tfracdxdt e tfracdydt, (c) declive tfracdydx e (d) equação da reta com declive conhecido que passe pelo ponto achado.

Passo 2

Calculamos as coordenadas do ponto em t=1:
x(1)=1-1^-1=1-1=0, y(1)=1+1^2=1+1=2

Passo 3

Calculamos as derivadas em função de t:
dxdt=1+ddtl(-t^-1r)=1+l(+t^-2r)=1+t^-2,
dydt=ddtl(1+t^2r)=2t

Passo 4

O declive da curva no plano é
dydx =tfracdydttfracdxdt =2t1+t^-2
Em t=1 isso fica
dydx|t=1 =2cdot11+1^-2 =21+1 =22=1

Passo 5

A equação da reta tangente com declive m=1 que passa por (0,2) vem de
y-2=1,(x-0),
ou seja
y=x+2

Resposta

y = x + 2

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