Find an equation of the tangent to the curve at the point corresponding to the given value of the parameter.
3. x=t^4+1, y=t^3+t ; t=-1

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x = t^4 + 1, y = t^3 + t
e pede a equação da reta tangente no ponto correspondente a t=-1. Para isso precisamos de duas coisas: o ponto l(x(-1),y(-1)r) e a inclinação da reta, dada por
dydx = dydtdxdt

Passo 2

Calculemos as derivadas em relação a t:
dxdt = 4t^3, dydt = 3t^2 + 1

Passo 3

Avalie em t=-1:
dxdt|t=-1 = 4(-1)^3 = -4, dydt|t=-1 = 3cdot(-1)^2 + 1 = 4
Logo a inclinação é
m = dydx|t=-1 = 4-4 = -1
O ponto de tangência é
x(-1) = (-1)^4 + 1 = 2, y(-1) = (-1)^3 + (-1) = -2

Passo 4

Use a forma ponto-inclinação da reta:
y - y0 = m,(x - x0),
substituindo (x0,y0) = (2,-2) e m=-1:
y - (-2) = -1,(x - 2) Longrightarrow y + 2 = -x + 2 Longrightarrow y = -x

Resposta

A equação da reta tangente é
y = -x

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