Let P be a point at a distance d from the center of a circle of radius r. The curve traced out by P as the circle rolls along a straight line is called a trochoid. (Think of the motion of a point on a spoke of a bicycle wheel.) The cycloid is the special case of a trochoid with d=r. Using the same parameter theta as for the cycloid and, assuming the line is the x-axis and theta=0 when P is at one of its lowest points, show that parametric equations of the trochoid are
x=r theta-d sin theta y=r-d cos theta
Sketch the trochoid for the cases d<r and d>r.

Passo 1

O enunciado diz que uma roda de raio r rola sem deslizar ao longo do eixo x e que um ponto P preso à roda a uma distância d do centro traça uma trocoide. Vamos usar como parâmetro o ângulo de rotação theta, medido de modo que theta=0 quando P está em seu ponto mais baixo. Para resolver, precisamos:
1. Encontrar as coordenadas do centro da roda ao rolar sem deslizar.
2. Somar a esse centro o vetor que vai dele até P, girado de acordo com theta.

Passo 2

Quando a roda rola sem deslizar por um arco de comprimento s, tem-se s=rtheta. Como a roda rola sobre o eixo x, o centro move-se horizontalmente até x=rtheta e mantém a altura y=r. Logo, as coordenadas do centro são
(xc,yc) = (rtheta,;r)

Passo 3

No instante theta=0, o ponto P está diretamente abaixo do centro, a distância d, ou seja, o vetor centro to P é (0,-d). Quando a roda gira de 0 a theta, esse vetor gira também de theta. Aplicando a rotação de ângulo theta ao vetor l(0,-dr) obtém-se
0-d mapsto costheta & -sintheta sintheta & costheta 0-d = -d(-sintheta) -d(costheta) = -dsintheta -dcostheta

Passo 4

Somando ao centro (rtheta,r) o vetor rotacionado l(-dsintheta,,-dcosthetar), obtemos as coordenadas de P:
x = rtheta - dsintheta, y = r - dcostheta

Passo 5

Para esboçar a curva note:
  • Se d<r, o ponto P nunca ultrapassa a reta y=0 para cima, a trocoide é ondulada sem formar laços (é uma trocoide curtada).
  • Se d=r, recuperamos a cicloide pura, que tem cuspides tocando y=0.
  • Se d>r, o ponto P sobe acima de y=2r e depois desce, gerando laços para baixo (é uma trocoide prolada).

Resposta

x = rtheta - dsintheta, y = r - dcostheta
Esboços qualitativos:
  • Para d<r: ondulações suaves acima de y=0, sem auto-interseções.
  • Para d>r: laços para baixo, isto é, a curva intercepta a reta y=0 em pontos múltiplos de theta=2pi formando laços.

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