Let be a point at a distance from the center of a circle of radius . The curve traced out by as the circle rolls along a straight line is called a trochoid. (Think of the motion of a point on a spoke of a bicycle wheel.) The cycloid is the special case of a trochoid with . Using the same parameter as for the cycloid and, assuming the line is the -axis and when is at one of its lowest points, show that parametric equations of the trochoid are
Sketch the trochoid for the cases and .
Passo 1
O enunciado diz que uma roda de raio rola sem deslizar ao longo do eixo e que um ponto preso à roda a uma distância do centro traça uma trocoide. Vamos usar como parâmetro o ângulo de rotação , medido de modo que quando está em seu ponto mais baixo. Para resolver, precisamos: . Encontrar as coordenadas do centro da roda ao rolar sem deslizar. . Somar a esse centro o vetor que vai dele até , girado de acordo com .
Passo 2
Quando a roda rola sem deslizar por um arco de comprimento , tem-se . Como a roda rola sobre o eixo , o centro move-se horizontalmente até e mantém a altura . Logo, as coordenadas do centro são
Passo 3
No instante , o ponto está diretamente abaixo do centro, a distância , ou seja, o vetor centro é . Quando a roda gira de a , esse vetor gira também de . Aplicando a rotação de ângulo ao vetor obtém-se
Passo 4
Somando ao centro (rtheta,r) o vetor rotacionado l(-dsintheta,,-dcosthetar), obtemos as coordenadas de P:
x = rtheta - dsintheta, y = r - dcostheta
Passo 5
Para esboçar a curva note:
Se d<r, o ponto P nunca ultrapassa a reta y=0 para cima, a trocoide é ondulada sem formar laços (é uma trocoide curtada).
Se d=r, recuperamos a cicloide pura, que tem cuspides tocando y=0.
Se d>r, o ponto P sobe acima de y=2r e depois desce, gerando laços para baixo (é uma trocoide prolada).
Resposta
x = rtheta - dsintheta, y = r - dcostheta
Esboços qualitativos:
Para d<r: ondulações suaves acima de y=0, sem auto-interseções.
Para d>r: laços para baixo, isto é, a curva intercepta a reta y=0 em pontos múltiplos de theta=2pi formando laços.