Calcule as derivadas das seguintes funções:
  • f(x)=(x^4-5)^7
  • f(x)=raiz[5]2 x^2+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de duas funções elementares usando a regra da cadeia e a regra do poder. Em ambos os casos temos uma função composta do tipo
f(x)=l(g(x)r)^n
ou
f(x)=l(g(x)r)^1/5.
Vamos identificar g(x) em cada caso, aplicar a regra da cadeia e simplificar.

Passo 2

Para
f(x)=l(x^4-5r)^7
definimos g(x)=x^4-5 e h(u)=u^7 com u=g(x).
Pela regra da cadeia:
f'(x)=h'l(g(x)r),g'(x)
Como h'(u)=7u^6 e g'(x)=4x^3, obtemos
f'(x)=7l(x^4-5r)^6cdot 4x^3 =28x^3l(x^4-5r)^6

Passo 3

Para
f(x)=raiz[5]2x^2+3=(2x^2+3)^tfrac15
definimos g(x)=2x^2+3 e h(u)=u^1/5.
Pela regra da cadeia:
f'(x)=h'l(g(x)r),g'(x)
Como h'(u)=tfrac15,u^-4/5 e g'(x)=4x, segue
f'(x)=15,(2x^2+3)^-tfrac45cdot 4x =4x5,(2x^2+3)^4/5

Resposta

Para f(x)=(x^4-5)^7:
f'(x)=28x^3l(x^4-5r)^6
Para f(x)=raiz[5]2x^2+3:
f'(x)=4x5,(2x^2+3)^4/5

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