- (Respiração humana) Um homem adulto típico inala e exala aproximadamente a cada 3,5 segundos. Seja
o volume do ar (em litros) nos pulmões de um paciente
segundos depois de exalar. Suponha que
seja decrito pela função
(a) Determine o volume máximo de ar nos pulmões do paciente e o instante em que os pulmões contêm o máximo volume de ar;;
(b) Determine o volume mínimo de ar nos pulmões do paciente e o instante em que os pulmões contêm o volume mínimo de ar;
(c) Desenhe o gráfico da função
.
(b) Determine o volume mínimo de ar nos pulmões do paciente e o instante em que os pulmões contêm o volume mínimo de ar;
(c) Desenhe o gráfico da função
Passo 1
O enunciado dá a função que descreve o volume de ar nos pulmões de um paciente em função do tempo:
O conteúdo envolve trigonometria aplicada a oscilações: identificar amplitude, valor médio, máximos, mínimos e período da função cosseno.
Passo 2
Para achar o volume máximo basta notar que
varia entre
e
.
Quando temos
Quando
O cosseno vale
quando
logo
O primeiro instante positivo é para
, isto é
,s.
Passo 3
O volume mínimo ocorre quando
, pois aí
portanto
O primeiro instante é
,s (imediatamente após exalar).
Passo 4
Para desenhar o gráfico em um período
,s calculamos alguns pontos-chave:
O gráfico é uma curva de cosseno invertido em torno de
, oscilando entre
e
com período
,s.
Resposta
(a) O volume máximo é
,L e ocorre quando
sendo o primeiro instante
,s.
(b) O volume mínimo é ,L e ocorre quando
(b) O volume mínimo é
sendo o primeiro instante
,s.
(c) O gráfico de é uma oscilação de cosseno de amplitude
em torno de
, com período
,s, atingindo
,L em
,s, subindo a
,L em
,s e retornando a
,L em
,s.
(c) O gráfico de