1. (Respiração humana) Um homem adulto típico inala e exala aproximadamente a cada 3,5 segundos. Seja B(t) o volume do ar (em litros) nos pulmões de um paciente t segundos depois de exalar. Suponha que B(t) seja decrito pela função
B(t)=0,5-0,4 cos (pi t1,75)
(a) Determine o volume máximo de ar nos pulmões do paciente e o instante em que os pulmões contêm o máximo volume de ar;;
(b) Determine o volume mínimo de ar nos pulmões do paciente e o instante em que os pulmões contêm o volume mínimo de ar;
(c) Desenhe o gráfico da função B(t).

Passo 1

O enunciado dá a função que descreve o volume de ar nos pulmões de um paciente em função do tempo:
B(t)=0,5 - 0,4cos!l(tfracpi t1,75r)
O conteúdo envolve trigonometria aplicada a oscilações: identificar amplitude, valor médio, máximos, mínimos e período da função cosseno.

Passo 2

Para achar o volume máximo basta notar que cos varia entre -1 e 1.
Quando cosl(tfracpi t1,75r)=-1 temos
Bmax=0,5 - 0,4times(-1)=0,5+0,4=0,9 (litros)
O cosseno vale -1 quando
tfracpi t1,75 = pi + 2pi k, kinZ,
logo
t = 1,75,(1+2k)
O primeiro instante positivo é para k=0, isto é t=1,75,s.

Passo 3

O volume mínimo ocorre quando cosl(tfracpi t1,75r)=1, pois aí
Bmin=0,5 - 0,4times1=0,1 (litros)
cos vale 1 quando
tfracpi t1,75 = 2pi k, kinZ,
portanto
t = 2cdot1,75,k = 3,5,k
O primeiro instante é t=0,s (imediatamente após exalar).

Passo 4

Para desenhar o gráfico em um período [0,3,5],s calculamos alguns pontos-chave:
t=0: & B(0)=0,1, t=0,875: & tfracpi t1,75=tfracpi2implies B=0,5, t=1,75: & B(1,75)=0,9, t=2,625: & tfracpi t1,75=tfrac3pi2implies B=0,5, t=3,5: & B(3,5)=0,1
O gráfico é uma curva de cosseno invertido em torno de B=0,5, oscilando entre 0,1 e 0,9 com período 3,5,s.

Resposta

(a) O volume máximo é 0,9,L e ocorre quando
t=1,75+3,5k, kinZ,
sendo o primeiro instante t=1,75,s.
(b) O volume mínimo é 0,1,L e ocorre quando
t=3,5k, kinZ,
sendo o primeiro instante t=0,s.
(c) O gráfico de B(t) é uma oscilação de cosseno de amplitude 0,4 em torno de 0,5, com período 3,5,s, atingindo 0,1,L em t=0,s, subindo a 0,9,L em t=1,75,s e retornando a 0,1,L em t=3,5,s.

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