Usando o método da substituição, calcule as seguintes integrais:
  • integral 2 x^8x^9+2 d x
  • integral(8 x-4)^8 d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule, usando o método da substituição, as integrais
integral 2 x^8x^9+2,dx
e
integral (8x-4)^8,dx.
A ideia é reconhecer no integrando uma expressão u cuja derivada du apareça (até constante) para reescrever a integral de forma mais simples.

Passo 2

Para a integral
integral 2 x^8x^9+2,dx
definimos
u = x^9 + 2,
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du = 9,x^8,dx Longrightarrow x^8,dx = du9
Substituindo no integrando, temos
integral 2,x^8x^9+2,dx = integral 2u,l(x^8dxr) = integral 2u,du9 = 29,integral duu

Passo 3

Agora basta integrar
29,integral duu = 29,lnl|ur| + C
e voltar à variável x:
integral 2 x^8x^9+2,dx = 29,lnl|x^9+2r| + C1

Passo 4

Para a segunda integral
integral (8x-4)^8,dx
fazemos a substituição
v = 8x - 4,
de onde
dv = 8,dx Longrightarrow dx = dv8
Substituindo, fica
integral (8x-4)^8,dx = integral v^8,dv8 = 18,integral v^8,dv

Passo 5

Integramos em v:
18,integral v^8,dv = 18,cdotv^99 + C = v^972 + C
Voltando a x:
integral (8x-4)^8,dx = l(8x-4r)^972 + C2

Resposta

integral 2 x^8x^9+2,dx = 29,lnl|x^9+2r| + C1
integral (8x-4)^8,dx = l(8x-4r)^972 + C2

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