Mostre que a Equação (13) se reduz a uma equação na forma
d yd x=G(a x+b y),
quando a1 b2=a2 b1. [Dica: se a1 b2=a2 b1, então a2 / a1= b2 / b1=k, de modo que a2=k a1 e b2=k b1.]

Passo 1

O enunciado parte da equação diferencial de primeira ordem
d yd x =a1,x+b1,y+c1a2,x+b2,y+c2 tag13
e pede para mostrar que, se
a1b2=a2b1,
essa equação se reduz à forma
d yd x=Gl(a,x+b,yr)
O conteúdo principal é reconhecer que a igualdade de produtos faz com que os termos lineares do numerador e do denominador fiquem proporcionais, permitindo uma única combinação linear u=a1x+b1y.

Passo 2

Pela condição a1b2=a2b1, definimos
k=a2a1=b2b1,
de modo que
a2=k,a1, b2=k,b1

Passo 3

Substituindo em (13) temos
d yd x =a1x+b1y+c1k,a1x+k,b1y+c2 =a1x+b1y+c1k,(a1x+b1y)+c2
Agora note que a única combinação de x e y que aparece em ambos os termos é
u=a1x+b1y
Logo o quociente depende apenas de u.

Passo 4

Definindo a função
G(u)=u+c1k,u+c2,
fica imediatamente
d yd x =;Gl(ur) =;Gl(a1x+b1yr),
que é exatamente da forma
dydx=G(ax+by).

Resposta

d yd x=Gl(a1x+b1yr), com G(u)=u+c1k,u+c2, k=a2a1=b2b1

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