Calcule as derivadas seguintes funções:
(raiz9 x^2+1) sec (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função (raiz9 x^2+1) sec (x). Aqui estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com a derivada de funções que são produto de duas funções. Para isso, vamos usar a Regra do Produto. Vamos precisar saber derivar funções básicas como x^n e sec(x).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão raiz9. Sabemos que raiz9 = 3, então a função fica:
f(x) = (3x^2 + 1) sec(x)

Passo 3

Agora, vamos usar a Regra do Produto para derivar f(x). A Regra do Produto diz que se temos uma função f(x) = u(x) cdot v(x), então a derivada f'(x) é:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Aqui, u(x) = 3x^2 + 1 e v(x) = sec(x).

Passo 4

Vamos calcular u'(x). Derivando 3x^2 + 1 em relação a x:
u'(x) = ddx(3x^2) + ddx(1) = 6x + 0 = 6x

Passo 5

Agora, vamos calcular v'(x). Sabemos que a derivada de sec(x) é sec(x)tan(x):
v'(x) = sec(x)tan(x)

Passo 6

Aplicando a Regra do Produto:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) = 6x cdot sec(x) + (3x^2 + 1) cdot sec(x)tan(x)

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 6x, sec(x) + (3x^2 + 1), sec(x)tan(x)

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