Desenhe os gráficos das funções abaixo:
f(x)=|x^2-5 x+6|.

Passo 1

A questão pede para desenhar o gráfico de f(x)=|x²−5x+6|. O conteúdo envolvido é análise de funções polinomiais e valor absoluto, e vamos precisar fatorar o polinômio, estudar seu sinal e montar a função em forma de partes para depois esboçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o quadrático x²−5x+6. Procuramos dois números cuja soma seja −5 e cujo produto seja +6. Esses números são −2 e −3, logo podemos escrever:
x²−5x+6=(x−2)(x−3) ²

Passo 3

Com a fatoração em mãos, identificamos os zeros do polinômio em x=2 e x=3. Entre essas raízes o polinômio é negativo (pois a parábola abre para cima), fora desse intervalo é positivo. Como temos valor absoluto, a parte negativa vai inverter de sinal.

Passo 4

Assim, definimos f por partes:
f(x)= x²−5x+6,&x<=2 ou x>=3, −(x²−5x+6),&2²²

Passo 5

Para saber o ponto mais baixo da parábola original, encontramos o vértice de x²−5x+6. A abscissa do vértice é x_v=−b/(2a)=5/2=2,5. Substituindo na função original:
yv=(2,5)²−5·2,5+6=6,25−12,5+6=−0,25 ²Como aplicamos valor absoluto, esse ponto vira (2,5;0,25) no gráfico de f.

Passo 6

Agora podemos esboçar: desenhe a parábola y=x²−5x+6 normalmente para x≤2 e x≥3, passando pelos pontos (2,0) e (3,0). Entre x=2 e x=3, desenhe a parábola invertida y=−x²+5x−6, que atinge o máximo 0,25 em x=2,5, e volta a zero em x=3. O resultado é uma curva contínua com ‘V’ suave no ponto (2,5;0,25).

Resposta

O gráfico de f(x)=|x²−5x+6| é dado peça-wise por
f(x)= x²−5x+6,&x<=2 ou x>=3, −x²+5x−6,&2²²
com zeros em (2,0) e (3,0) e ponto de retorno (cusp) em (2,5;0,25). As duas ‘pernas’ externas são pedaços da parábola original, e o arco interno é a parte invertida devido ao valor absoluto.

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