(3,0) Calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\ln \sqrt{\left(x^{2}+1\right) e^{x}}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede a sua derivada:
f(x)=\ln\sqrt{\left(x^{2}+1\right)e^{x}}.
O que é pedido: calcular f'(x), a derivada de f em relação a x.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão dentro do log é \sqrt{\left(x^{2}+1\right)e^{x}}.
  • Observação sobre domínio: x^{2}+1>0 para todo x e e^{x}>0 para todo x, logo o argumento do log é sempre positivo e f está bem definida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Primeiro, simplificar a expressão usando propriedades do logaritmo e da raiz quadrada.
Regra usada: \sqrt{A}=A^{1/2} e \ln(A^{1/2})=\tfrac{1}{2}\ln A. Aplicando:
f(x)=\ln\!\left(\left[(x^{2}+1)e^{x}\right]^{1/2}\right)=\tfrac{1}{2}\ln\!\left((x^{2}+1)e^{x}\right).
Outra propriedade de logaritmo: \ln(AB)=\ln A+\ln B. Aplicando a soma:
f(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(\ln(x^{2}+1)+\ln(e^{x})\bigr).
E \ln(e^{x})=x. Portanto:
f(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(\ln(x^{2}+1)+x\bigr).

Passo 3

Agora vamos derivar. Usamos duas regras básicas que vou explicar:
  1. Derivada da soma: a derivada de g(x)+h(x) é g'(x)+h'(x).
  2. Constante multiplicando: a derivada de c\cdot g(x) (com c constante) é c\cdot g'(x).
Aplicando essas regras a f(x)=\tfrac{1}{2}(\ln(x^{2}+1)+x) obtemos:
f'(x)=\tfrac{1}{2}\left(\frac{d}{dx}\ln(x^{2}+1)+\frac{d}{dx}x\right).

Passo 4

Derivar \ln(x^{2}+1). Regra (cadeia/log):
  • Regra do logaritmo: se u=u(x) e u>0, então \dfrac{d}{dx}\ln(u)=\dfrac{u'}{u}. Aqui u(x)=x^{2}+1.
  • Calcular u'(x): \dfrac{d}{dx}(x^{2}+1)=2x.
Portanto:
\frac{d}{dx}\ln(x^{2}+1)=\frac{2x}{x^{2}+1}.

Passo 5

Derivar x: \dfrac{d}{dx}x=1.
Substituindo na expressão de f'(x):
f'(x)=\tfrac{1}{2}\left(\frac{2x}{x^{2}+1}+1\right).

Passo 6

Fazer a simplificação algébrica para uma forma mais compacta. Primeiro reescrever:
f'(x)=\frac{1}{2}+\frac{x}{x^{2}+1}.
Colocando em um único quociente:
f'(x)=\frac{\tfrac{1}{2}(x^{2}+1)+x}{x^{2}+1}=\frac{\tfrac{x^{2}+1}{2}+x}{x^{2}+1}=\frac{x^{2}+2x+1}{2(x^{2}+1)}.
Observar que x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}. Assim:
f'(x)=\frac{(x+1)^{2}}{2(x^{2}+1)}.

Resposta

f'(x)=\frac{(x+1)^{2}}{2(x^{2}+1)}

Exercícios relacionados