Calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua derivada:
O que é pedido: calcular
, a derivada de
em relação a
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão dentro do log é
. - Observação sobre domínio:
para todo e para todo , logo o argumento do log é sempre positivo e está bem definida para todo .
Passo 2
Primeiro, simplificar a expressão usando propriedades do logaritmo e da raiz quadrada.
Regra usada:
e
. Aplicando:
Outra propriedade de logaritmo:
. Aplicando a soma:
E
. Portanto:
Passo 3
Agora vamos derivar. Usamos duas regras básicas que vou explicar:
- Derivada da soma: a derivada de
é . - Constante multiplicando: a derivada de
(com constante) é .
Aplicando essas regras a
obtemos:
Passo 4
Derivar
. Regra (cadeia/log):
- Regra do logaritmo: se
e , então . Aqui . - Calcular
: .
Portanto:
Passo 5
Derivar
:
.
Substituindo na expressão de
:
Passo 6
Fazer a simplificação algébrica para uma forma mais compacta. Primeiro reescrever:
Colocando em um único quociente:
Observar que
. Assim: