(3,0) Calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\frac{\tan x}{2+\cos (2 x)}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{\tan x}{2+\cos(2x)}.
Informações dadas:
  • A função é uma razão (quociente) entre u(x)=\tan x e v(x)=2+\cos(2x).
  • Queremos f'(x), a derivada em função de x.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar a regra do quociente porque a função está escrita como razão de duas funções. A regra do quociente diz: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^2}.
Aqui u(x)=\tan x e v(x)=2+\cos(2x). Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Calcular u'(x) e v'(x).
Derivada de u(x)=\tan x:
  • Conhecimento usado: a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^2 x.
    Portanto
u'(x)=\operatorname{sec}^2 x.
Derivada de v(x)=2+\cos(2x):
  • A constante 2 some ao derivar.
  • Para \cos(2x) usamos a regra da cadeia: a derivada de \cos(t) é -\sin(t), e derivando t=2x obtemos t'=2. Logo
v'(x)=-\sin(2x)\cdot 2 = -2\sin(2x).

Passo 4

Aplicar a regra do quociente com os u',u,v',v encontrados:
f'(x)=\frac{\operatorname{sec}^2 x\,(2+\cos(2x))-\tan x\bigl(-2\sin(2x)\bigr)}{\bigl(2+\cos(2x)\bigr)^2}.
Simplificando o sinal duplo (menos vezes menos vira mais):
f'(x)=\frac{\operatorname{sec}^2 x\,(2+\cos(2x))+2\tan x\sin(2x)}{\bigl(2+\cos(2x)\bigr)^2}.

Passo 5

Podemos simplificar um dos termos do numerador usando identidades trigonométricas básicas. Calculo 2\tan x\sin(2x):
  • \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}.
  • \sin(2x)=2\sin x\cos x.
    Logo
2\tan x\sin(2x)=2\cdot\frac{\sin x}{\cos x}\cdot(2\sin x\cos x) =2\cdot\frac{\sin x}{\cos x}\cdot 2\sin x\cos x =4\sin^2 x.
Substituindo isso no numerador:
f'(x)=\frac{\operatorname{sec}^2 x\,(2+\cos(2x))+4\sin^2 x}{\bigl(2+\cos(2x)\bigr)^2}.

Passo 6

Opcional: escrever o denominador e o primeiro fator do numerador usando a identidade \cos(2x)=2\cos^2 x-1, assim 2+\cos(2x)=1+2\cos^2 x. Então uma forma alternativa equivalente é
f'(x)=\frac{\operatorname{sec}^2 x\,(1+2\cos^2 x)+4\sin^2 x}{\bigl(1+2\cos^2 x\bigr)^2}.
Ambas as formas são corretas; a forma obtida diretamente pela regra do quociente é perfeitamente adequada e um pouco mais direta.

Resposta

f'(x)=\frac{\operatorname{sec}^2 x\,(2+\cos(2x))+2\tan x\sin(2x)}{\bigl(2+\cos(2x)\bigr)^2}

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