Calcule as derivadas das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é uma razão (quociente) entre
e . - Queremos
, a derivada em função de .
Passo 2
Escolha do método: vamos usar a regra do quociente porque a função está escrita como razão de duas funções. A regra do quociente diz: se
então
Aqui
e
. Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Calcular
e
.
Derivada de
:
- Conhecimento usado: a derivada de
é .
Portanto
Derivada de
:
- A constante
some ao derivar. - Para
usamos a regra da cadeia: a derivada de é , e derivando obtemos . Logo
Passo 4
Aplicar a regra do quociente com os
encontrados:
Simplificando o sinal duplo (menos vezes menos vira mais):
Passo 5
Podemos simplificar um dos termos do numerador usando identidades trigonométricas básicas. Calculo
:
-
. -
.
Logo
Substituindo isso no numerador:
Passo 6
Opcional: escrever o denominador e o primeiro fator do numerador usando a identidade
, assim
. Então uma forma alternativa equivalente é
Ambas as formas são corretas; a forma obtida diretamente pela regra do quociente é perfeitamente adequada e um pouco mais direta.