Calcule os seguintes limites:
Assuma que
é contínua em
e que
Calcule
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- A função
é contínua em . - Para
,
A pergunta é: calcular
.
Passo 2
Lembrete teórico essencial (explicado de forma simples): ser contínuo em
significa exatamente que o valor da função no ponto é igual ao limite quando
se aproxima de 1. Em símbolos:
Portanto, para encontrar
basta calcular
.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão de
para
. Primeiro, fatoramos o numerador
. Para fatorar um polinômio quadrático do tipo
procura-se dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Aqui temos
e
. Os números
e
satisfazem:
Logo o polinômio fatorado é
Passo 4
Substituindo a fatoração na expressão de
(válida para
):
Como
podemos cancelar o fator
, obtendo a forma simplificada
Passo 5
Agora calculamos o limite usando a forma simplificada. A função
é contínua em todo ponto, então
Assim o limite existe e vale
.
Passo 6
Como o enunciado garante que
é contínua em
, vale a igualdade entre valor e limite no ponto:
Observação didática rápida: originalmente a definição dada de
deixava o ponto
sem valor (a fórmula era só para
). A continuidade em
força que o valor no ponto seja a extensão que remove a descontinuidade removível — aqui definindo
. Um exemplo parecido e simples é
que simplifica para
e tem limite
em
.