Calcule os seguintes limites:
(1,0) Assuma que f é contínua em x=1 e que
f(x)=\frac{x^{2}-3 x+2}{x-1}, \text { se } x \neq 1 .
Calcule f(1).

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A função f é contínua em x=1.
  • Para x\neq 1,
f(x)=\frac{x^{2}-3x+2}{x-1}.
A pergunta é: calcular f(1).

Passo 2

Lembrete teórico essencial (explicado de forma simples): ser contínuo em x=1 significa exatamente que o valor da função no ponto é igual ao limite quando x se aproxima de 1. Em símbolos:
\text{\(f\) contínua em \(x=1\)}\quad\Longrightarrow\quad f(1)=\lim_{x\to1}f(x).í
Portanto, para encontrar f(1) basta calcular \lim_{x\to1}f(x).

Passo 3

Vamos simplificar a expressão de f(x) para x\neq1. Primeiro, fatoramos o numerador (x^{2}-3x+2). Para fatorar um polinômio quadrático do tipo x^{2}+bx+c procura-se dois números cuja soma seja b e cujo produto seja c. Aqui temos b=-3 e c=2. Os números -1 e -2 satisfazem:
-1 + (-2) = -3,\qquad (-1)\cdot(-2)=2.
Logo o polinômio fatorado é
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).

Passo 4

Substituindo a fatoração na expressão de f(x) (válida para x\neq1):
f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{x-1} \quad\text{para } x\neq1.
Como x\neq1 podemos cancelar o fator (x-1), obtendo a forma simplificada
f(x)=x-2 \quad\text{para } x\neq1.

Passo 5

Agora calculamos o limite usando a forma simplificada. A função x-2 é contínua em todo ponto, então
\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(x-2)=1-2=-1.
Assim o limite existe e vale -1.

Passo 6

Como o enunciado garante que f é contínua em x=1, vale a igualdade entre valor e limite no ponto:
f(1)=\lim_{x\to1}f(x)=-1.
Observação didática rápida: originalmente a definição dada de f deixava o ponto x=1 sem valor (a fórmula era só para x\neq1). A continuidade em x=1 força que o valor no ponto seja a extensão que remove a descontinuidade removível — aqui definindo f(1)=-1. Um exemplo parecido e simples é \dfrac{x^{2}-1}{x-1} que simplifica para x+1 e tem limite 2 em x=1.

Resposta

-1

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