\int \frac{2 x+4}{x^{2}(x-2)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{2x+4}{x^{2}(x-2)}\,dx.
Informações e observações que o enunciado dá e que são úteis:
  • A função a integrar é uma fração racional: o numerador é 2x+4 e o denominador é x^{2}(x-2).
  • O denominador já está fatorado como x^{2}(x-2). Note que há um fator linear repetido: x tem multiplicidade 2, e há também o fator linear distinto x-2.
  • A integral é indefinida (procura-se a antiderivada) e devemos acrescentar a constante de integração C ao final.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática do procedimento que vamos aplicar).
Quando temos uma integral de uma fração racional em que o denominador se factoriza em fatores lineares (possivelmente repetidos), uma técnica muito prática é decompor a fração em frações parciais. Isso significa escrever a fração como soma de termos mais simples cuja antiderivada é conhecida (logaritmo, potências, etc.).
Para um fator linear simples (x-a) aparece um termo do tipo \dfrac{C}{x-a}.
Para um fator linear repetido x^{2} devemos incluir termos para todas as potências até a multiplicidade: \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}}.
Assim, assumimos a decomposição da forma
\frac{2x+4}{x^{2}(x-2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x-2},
onde A, B e C são constantes a determinar. Vou agora mostrar detalhadamente como encontrar esses coeficientes.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da identidade por x^{2}(x-2) para eliminar denominadores e obter uma identidade polinomial:
2x+4 = A\cdot x(x-2) + B\cdot (x-2) + C\cdot x^{2}.
Aqui cada termo do lado direito veio de multiplicar o respectivo termo da decomposição por x^{2}(x-2):
  • \dfrac{A}{x}\cdot x^{2}(x-2)=A\cdot x(x-2),
  • \dfrac{B}{x^{2}}\cdot x^{2}(x-2)=B\cdot(x-2),
  • \dfrac{C}{x-2}\cdot x^{2}(x-2)=C\cdot x^{2}.

Passo 4

Expandimos o lado direito e agrupamos termos em potências de x. Primeiro expandir cada parcela:
A\cdot x(x-2) = A x^{2} - 2A x,
B\cdot (x-2) = B x - 2B,
C\cdot x^{2} = C x^{2}.
Somando,
A x^{2} - 2A x + B x - 2B + C x^{2} = (A+C)x^{2} + (-2A + B)x - 2B.
Como isso deve ser idêntico ao polinômio do lado esquerdo 2x+4, escrevemos a igualdade de coeficientes comparando termos em x^{2}, x e constante:
\begin{cases} \text{coeficiente de }x^{2}: & A + C = 0,\\[4pt] \text{coeficiente de }x: & -2A + B = 2,\\[4pt] \text{constante:} & -2B = 4. \end{cases}]

Passo 5

Resolvendo o sistema de coeficientes passo a passo:
Da terceira equação -2B=4 segue
B = -2.
Substituindo B=-2 na segunda equação -2A+B=2
-2A + (-2) = 2 \quad\Rightarrow\quad -2A = 4 \quad\Rightarrow\quad A = -2.
Da primeira equação A+C=0 obtemos
C = -A = -(-2) = 2.
Portanto os coeficientes são A=-2, B=-2 e C=2.

Passo 6

Reescrevendo a decomposição com os coeficientes encontrados:
\frac{2x+4}{x^{2}(x-2)} = -\frac{2}{x} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x-2}.
Agora integramos termo a termo. Lembrete rápido das integrais básicas que usarei:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
  • \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. No caso x^{-2}, tem n=-2 e \int x^{-2}\,dx = -x^{-1}+C.
  • Para deslocamento: \displaystyle \int \frac{1}{x-2}\,dx = \ln|x-2| + C.
Calcule cada termo:
\int -\frac{2}{x}\,dx = -2\ln|x| + C_{1},
\int -\frac{2}{x^{2}}\,dx = -2\int x^{-2}\,dx = -2\big(-x^{-1}\big) + C_{2} = \frac{2}{x} + C_{2},
\int \frac{2}{x-2}\,dx = 2\ln|x-2| + C_{3}.
Somando as primitivas e absorvendo C_{1}+C_{2}+C_{3} numa constante única C, obtemos a antiderivada.

Resposta

-2\ln|x| + \frac{2}{x} + 2\ln|x-2| + C

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