Informações e observações que o enunciado dá e que são úteis:
A função a integrar é uma fração racional: o numerador é 2x+4 e o denominador é x^{2}(x-2).
O denominador já está fatorado como x^{2}(x-2). Note que há um fator linear repetido: x tem multiplicidade 2, e há também o fator linear distinto x-2.
A integral é indefinida (procura-se a antiderivada) e devemos acrescentar a constante de integração C ao final.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática do procedimento que vamos aplicar).
Quando temos uma integral de uma fração racional em que o denominador se factoriza em fatores lineares (possivelmente repetidos), uma técnica muito prática é decompor a fração em frações parciais. Isso significa escrever a fração como soma de termos mais simples cuja antiderivada é conhecida (logaritmo, potências, etc.).
Para um fator linear simples (x-a) aparece um termo do tipo \dfrac{C}{x-a}.
Para um fator linear repetido x^{2} devemos incluir termos para todas as potências até a multiplicidade: \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}}.
Aqui cada termo do lado direito veio de multiplicar o respectivo termo da decomposição por x^{2}(x-2):
\dfrac{A}{x}\cdot x^{2}(x-2)=A\cdot x(x-2),
\dfrac{B}{x^{2}}\cdot x^{2}(x-2)=B\cdot(x-2),
\dfrac{C}{x-2}\cdot x^{2}(x-2)=C\cdot x^{2}.
Passo 4
Expandimos o lado direito e agrupamos termos em potências de x. Primeiro expandir cada parcela:
A\cdot x(x-2) = A x^{2} - 2A x,
B\cdot (x-2) = B x - 2B,
C\cdot x^{2} = C x^{2}.
Somando,
A x^{2} - 2A x + B x - 2B + C x^{2} = (A+C)x^{2} + (-2A + B)x - 2B.
Como isso deve ser idêntico ao polinômio do lado esquerdo 2x+4, escrevemos a igualdade de coeficientes comparando termos em x^{2}, x e constante:
\begin{cases} \text{coeficiente de }x^{2}: & A + C = 0,\\[4pt] \text{coeficiente de }x: & -2A + B = 2,\\[4pt] \text{constante:} & -2B = 4. \end{cases}]
Passo 5
Resolvendo o sistema de coeficientes passo a passo:
Da terceira equação -2B=4 segue