Calcule as derivadas das seguintes funções:
tg(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada da função tg(x), que é a tangente de x. Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente as regras de derivação de funções trigonométricas. Precisamos entender como derivar a tangente usando as fórmulas que conhecemos.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a tangente pode ser expressa como tg(x) = sin(x)cos(x). Isso vai nos ajudar a derivar usando a regra do quociente.

Passo 3

A regra do quociente diz que se temos uma função f(x) = u(x)v(x), então sua derivada é f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2. Vamos aplicar isso à nossa função tg(x).

Passo 4

Identificamos u(x) = sin(x) e v(x) = cos(x). Agora, precisamos encontrar as derivadas de u(x) e v(x):
  • u'(x) = cos(x)
  • v'(x) = -sin(x)

Passo 5

Substituindo na fórmula da regra do quociente:
tg'(x) = cos(x) cdot cos(x) - sin(x) cdot (-sin(x))cos^2(x)

Passo 6

Simplificando o numerador:
tg'(x) = cos^2(x) + sin^2(x)cos^2(x)

Passo 7

Sabemos que cos^2(x) + sin^2(x) = 1 (identidade trigonométrica). Então:
tg'(x) = 1cos^2(x) = sec^2(x)

Resposta

A derivada de tg(x) é tg'(x) = sec^2(x).

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